5-6月题目汇总（5.30---6.4）

5.30晚

NO.1 来源 : BZOJ 2342 [Shoi2011]双倍回文

分类： 回文，Manachar

简要题解：

• 先用Manachar求出 f(i) ,令 p(i) 表示以 i,i+1 中间为对称轴能延伸的最长长度，也就是 s[i−p(i)]=s[i+1+p(i)] ,显然 p(i)=f(i∗2+1)−12
• 枚举中心 x ,如果 x<y≤(x+p(x)2) 并且 y−p(y)≤x 那么一定有一个关于 x，x+1 中间对称的，长度为 (y−x)∗4 的双回文串。
• 对 y 的第二个条件可以用排序+按顺序加入讨论来保证。第一个条件用一个set维护。时间复杂度 O(logn) .
• 貌似有大神用的并查集，可是蒟蒻并不会。

反思：

• Manachar 可以很灵活的变形，求出其他和回文串中心有关的长度值。
• 重点关注满足哪些条件就可以更新答案和怎么维护这些条件。

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5.31上午

NO.2 来源 : BZOJ 4213 贪吃蛇

分类： 上下界网络流

简要题解：

• 被环状蛇覆盖的格子与两个格子相连，非环状蛇除了头尾只与一个格子相连之外，其他格子也与两个格子相连。
• 对网格进行黑白染色，环状蛇的头和尾一定在不同颜色的格子里。
• S→每个白点,cap=2,cost=0 （限制流量恰好为2）
  每个黑点→T,cap=2,cost=0 (限制流量恰好为2)
  白点→相邻的黑点,cap=1,cost=0
• 环状蛇只会转化成上面几种边，所以不会产生任何费用。
  特别的, 边上的白点→Tcap=1,cost=1
  非环状蛇的头尾都会经过一条上面这种边，所以对答案的贡献是2.

反思：

• 把网格问题转化成网络流问题的常用途径就是染色（标号）法。
• 满足要求的情形有哪些类？一个一个想清楚。

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5.31上午

NO.3 来源 4755: [Jsoi2016]扭动的回文串

分类： Manacher,Hash

简要题解：

• 先对两个串跑一遍Manacher，求出 f(i),g(i) ，令 ans=max(f(i)−1,g(i)−1))
• 现在考虑连接而成的串。枚举回文中心，显然先在当前串上扩展到最长 l,r ,再看 l−1,r+1 两个方向最多能扩展多少，这个显然可以二分+Hash判定。时间复杂度 O(nlogn)

反思：

• Manacher要注意原始串和扩展后的串的对应关系，注意会回文区间的开闭。
• 判定子串相等用Hash。

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5.31上午

NO.4 来源 BZOJ 3243 [Noi2013]向量内积

分类： 线性代数，随机

简要题解：

• 把输入看成 n∗d 的矩阵 A ,令 B=A∗AT ,那么 Bi,j 表示的就是 vi,vj 的点积。
• 考虑 k=2 的情况，也就是要看有没有 Bi,j=0 ，等价于判断 B 是否等于全1矩阵。判断两个矩阵相等的经典方法是随机枚举向量，分别乘积，检查结果是否相等。
• 对于 k=3 注意到 22≡1 (mod 3) ,考虑点积的平方。
  (∑i=1dai∗bi )2=(∑i=1dai∗bi )∗(∑j=1daj∗bj )=∑i=1d∑j=1daiajbibj
• 重新构造一个 n∗d2 的矩阵 C,Ci,j∗(d−1)+k=Ai,j∗Ai,k ，这就转化为 k=2 的情形了。

反思：

• 向量、矩阵都是线性代数的内容，很多东西是可以相通的。
• 判断两个矩阵相等。

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5.31上午

NO.5 来源 不知道是哪里的集训题： 树上计算

分类： 树链剖分，树上乱搞

简要题解：

• 一些约定： size(x) 表示子树大小， scnt(x),gcnt(x) 分别表示 x 的儿子、儿子和孙子的数量。 sum(x) 表示 x 子树的权值和。
• 直接维护每个点的答案 f(x) ,对一个点 x 的修改 +d ，影响的是他的儿子和孙子，以及他到根的祖先点。
  
  • 对于孙子节点 v,Δf(v)=d∗(size(v)+1)
  • 对于儿子节点 v,Δf(v)=d∗(2+size(v)∗scnt(v))
  • 对于 x,Δf(x)=d∗(2+size(x)∗gcnt(x)−∑fa(v)=xsize(v)∗scnt(v) )
    其中令 g(v)=∑fa(v)=xsize(v)∗scnt(v) 是可以预处理的。
• 对于以上三种，都可以只在修改的时候打标记，询问的时候考虑一下 fa(x),fa(fa(x)) 的影响就可以了。
• 对于 x 的祖先节点 v ,令 y 表示 v→x 路径上的第一个点, Δf(v)=d∗(gcnt(x)+1)∗(size(v)−size(y)) 。考虑轻重链剖分，重链上用线段树维护 ∑gcnt(x)+1 ,修改的时候线段树上修改这个点，同时，向上跳轻链的时候修改 f(fa(top[x])) .

反思：

• 注意到影响那些点之后，要考虑哪些是一类的变化，用什么维护。

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