广义高阶幂取模（模板向）
高阶幂，或者叫幂塔，指的是一个数幂次的幂次的幂次……，也就是 a a a . . . a^{a^{a...}} aaa...
而广义高阶幂则指幂塔上存在不同的数，形如 a 0 a 1 a 2 . . . a_0^{a_1^{a_2...}} a0a1a2...
高阶幂取模典型题目：CodeForces 906D Power Tower
题目大意：就是上述的广义高阶幂去取模：给你n个数，q次查询，每次给定一个l和r，查询这n个数中由区间 [ a l , a r ] [a_l, a_r] [al,ar]所组成的幂塔去模m的结果。
思路：欧拉降幂。
我们知道欧拉降幂的公式 n x ≡ n x m o d ϕ ( m ) + ϕ ( m ) ( m o d m ) i f x ≥ ϕ ( m ) n^x \equiv n^{x \space mod \space \phi(m) \space + \space \phi(m) } \space (mod \space m)\quad if \space x \geq \phi(m) nx≡nx mod ϕ(m) + ϕ(m) (mod m)if x≥ϕ(m)
所以我们自定义一个模运算：
#define Mod(a,b) a<b?a:a%b+b
使公式变成： n x ≡ n M o d ( x , ϕ ( m ) ) ( m o d m ) n^x \equiv n^{Mod(x, \space \phi(m))}(mod \space m) nx≡nMod(x, ϕ(m))(mod m)，该公式就在x为任意非负整数下适用了。
如此，幂塔就可以递归地将降幂进行下去，递归的过程会将φ函数迭代下去：
a 0 a 1 a 2 a 3 . . . m o d m = a 0 M o d ( a 1 a 2 a 3 . . . , ϕ ( m ) ) m o d m = a 0 M o d ( a 1 M o d ( a 2 a 3 . . . , ϕ ( ϕ ( m ) ) ) , ϕ ( m ) ) m o d m . . . . . . a_0^{a_1^{a_2^{a_3...}}}\space mod\space m\\=a_0^{Mod(a_1^{a_2^{a_3...}}, \phi(m))}\space mod\space m \\ = a_0^{Mod(a_1^{Mod(a_2^{a_3...},\phi(\phi(m)))},\phi(m))}\space mod \space m\\ ...... a0a1a2a3... mod m=a0Mod(a1a2a3...,ϕ(m)) mod m=a0Mod(a1Mod(a2a3...,ϕ(ϕ(m))),ϕ(m)) mod m......
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define Mod(a,b) a<b?a:a%b+b //重定义取模，按照欧拉定理的条件
#define LL long long
#define N 100010
using namespace std;
LL n,q,mod,a[N];
map<LL,LL> mp;
LL qpow(LL x,LL n,LL mod)
{
LL res=1;
while(n)
{
if (n&1) res=Mod(res*x,mod),n--;
x=Mod(x*x,mod); n>>=1;
}
return res;
}
LL phi(LL k)
{
LL i,s=k,x=k;
if (mp.count(k)) return mp[x]; //记忆化存储
for(i = 2;i * i <= k; i++)
{
if(k % i == 0) s = s / i * (i - 1);
while(k % i == 0) k /= i;
}
if(k > 1) s = s / k * (k - 1);
mp[x]=s; return s;
}
LL solve(LL l,LL r,LL mod)
{
if (l==r||mod==1) return Mod(a[l],mod); //如果到右端点或者φ值等于1，那么直接返回当前数字
return qpow(a[l],solve(l+1,r,phi(mod)),mod); //否则指数为[l+1,r]区间的结果
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&mod);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&a[i]);
scanf("%lld",&q);
while(q--)
{
int L,R;
scanf("%d%d",&L,&R);
printf("%lld\n",solve(L,R,mod)%mod); //对mod取模，因为qpow内部是用Mod(a,b)取模
}
return 0;
}