【BZOJ1001】最小割 or 对偶图最短路

题意十分难懂

题意
简单来说就是把一个图分成两部分最小花费，但是问题叙述的让人十分难以理解qwq。

分析：
这是BZOJ1001啊！
也就比BZOJ1000 A+B难一点是吧。

题目的流量已经给好了。
让你求最小割。

那不就直接最大流就完事了吗

dinic直接就敲上去了。

然后就MLE了。

辣鸡vector

敲了个前向星就过了。

但是，这个题目可是BZOJ1001！是具有划时代意义的一个题目。

我们观察到数据范围是1000，但是点的数目足足有1e6个，每一个点都会连三条边，所以，在这种数据范围下，dinic可以跑过完全是因为运气好。

于是！！！
下面我要介绍一个新思路：对偶图最短路。

对偶图是什么东西呢？

我们先定义平面图，对偶图是在平面图基础上的另一张图。

平面图就是一张，交点一定是顶点的图。
什么意思呢？

黑色的两张图就是平面图，红色的两张图就不是平面图。
很好理解吧。

现在让我们来介绍一下对偶图

蓝色的部分是平面图，红色部分就是对偶图

可以看出来，对偶图就是平面图中每一个区域作为一个点，跨过平面边界的部分当作边。
需要注意的是，平面图的外面一层也是一个区域。

很显然，根据这个对偶图，我们可以发现，它的每一条边都把原图的边割开了。
那么我们需要求的最小割，其实就是这个对偶图的最短路。

边权是什么呢？
对偶图的边权就是截断原图的边的边权。

以上，我们介绍了对偶图，现在让我们来解决本篇文章的题目。

题目的图是一个很规则的图形，那么我们就可以很简单的构造出对偶图了，只需要将s到t连一条边，那么对偶图的s’就是s到t边和原图组成的区域，t’就是对偶图外部的区域。

答案就是dis[s’][t’]。
就做完了。

#include 
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn = 3e6+7;
int n,m;
struct edge
{
	int to;
	int w;
};
struct node
{
	int now;
	int w;
	bool operator<(const node &rhs)const
	{
		return w>rhs.w;
	}
};
vector<edge> G[maxn];
int dis[maxn];
void add_edge(int from,int to,int w)
{
	G[from].push_back({to,w});
	G[to].push_back({from,w});
}
void dijkstra(int s)
{
	memset(dis,INF,sizeof(dis));
	priority_queue<node> q;
	dis[s] = 0;
	q.push({s,dis[s]});
	while(!q.empty())
	{
		node tmp = q.top();
		q.pop();
		if(dis[tmp.now]<tmp.w) continue;
		for(int i=0;i<G[tmp.now].size();i++)
		{
			int v = G[tmp.now][i].to;
			if(dis[v]>dis[tmp.now]+G[tmp.now][i].w)
			{
				dis[v] = dis[tmp.now]+G[tmp.now][i].w;
				q.push({v,dis[v]});
			}
		}
	}
}
int main()
{
	int x;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int nm = (n*m-n-m+1)*2;
	for(int j=1;j<m;j++)
	{
		scanf("%d",&x);
		add_edge(j,nm+1,x);
	}
	for(int i=1;i<n-1;i++)
	{
		for(int j=1;j<m;j++)
		{
			scanf("%d",&x);
			add_edge((2*i)*(m-1)+j,((2*i)-1)*(m-1)+j,x);
	    } 
	}
	for(int j=1;j<m;j++)
	{
		scanf("%d",&x);
		add_edge(0,((2*n)-3)*(m-1)+j,x);
	}
	for(int i=0;i<n-1;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			scanf("%d",&x);
			if(j==1) add_edge(0,(2*i)*(m-1)+m,x);
			else if(j==m) add_edge((2*i+1)*(m-1),nm+1,x);
			else add_edge((2*i)*(m-1)+j-1,(2*i)*(m-1)+j+m-1,x);
		}
	}
	for(int i=0;i<n-1;i++)
	{
		for(int j=1;j<m;j++)
		{
			scanf("%d",&x);
			add_edge((2*i+1)*(m-1)+j,(2*i)*(m-1)+j,x);
		}
	}
	dijkstra(0);
	printf("%d\n",dis[nm+1]);
	return 0;
}

dinic

#include 
using namespace std;
int n,m;
int tot;
struct data
{
	int to,next,v;
}e[6000001];
int head[1000001];
int h[1000001],q[1000001],ans;
void add_edge(int u,int v,int w)
{
	e[++tot].to=v;
	e[tot].v=w;
	e[tot].next=head[u];
	head[u]=tot;
}
bool bfs()
{
    int now,i;
    memset(h,-1,sizeof(h));
    int t=0,w=1;
    q[t]=1;
	h[1]=0;
    while(t<w)
    {   
        now=q[t];t++;
        i=head[now];
        while(i)
        {
            if(e[i].v&&h[e[i].to]<0)
            {
				q[w++]=e[i].to;
				h[e[i].to]=h[now]+1;                 
            }
            i=e[i].next;
        }
    }
    if(h[n*m]==-1)return 0;
    return 1;
}
int dfs(int x,int f)
{
    if(x==n*m)return f;
    int i=head[x];
    int w,used=0;
    while(i)
    {
        if(e[i].v&&h[e[i].to]==h[x]+1)
        {
            w=f-used;
            w=dfs(e[i].to,min(w,e[i].v));
            e[i].v-=w;
            e[i+1].v+=w;
            used+=w;
            if(used==f)return f;
		}
		i=e[i].next;
	}
	if(!used)h[x]=-1;
	return used;
}
void dinic()
{
	while(bfs())ans+=dfs(1,0x7fffffff);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	for(int j=1;j<m;j++)
		{
			scanf("%d",&x);
			add_edge(m*(i-1)+j,m*(i-1)+j+1,x);
			add_edge(m*(i-1)+j+1,m*(i-1)+j,x);
		}
	}	
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
    	for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			scanf("%d",&x);
			add_edge(m*(i-1)+j,m*(i)+j,x);
			add_edge(m*(i)+j,m*(i-1)+j,x);
		}
	}
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
    	for(int j=1;j<m;j++)
		{
			scanf("%d",&x);
			add_edge(m*(i-1)+j,m*(i)+j+1,x);
			add_edge(m*(i)+j+1,m*(i-1)+j,x);
		}
	}	
    dinic();
    printf("%d",ans);
    return 0;
}