坐标系转换

今天一项工作要处理坐标变换，简单研究了下。

局部坐标系到全局坐标系

原理如下：

图中，世界坐标系是$(X,Y,Z)$，局部坐标系是$(X^{\prime },Y^{\prime },Z^{\prime })$，局部坐标系原点$O^{\prime }$。
要转换的点是$P$。
$$\begin{gathered} OP=x\ast i+y\ast j+z\ast k \\ O{O}^{\prime }=a\ast i+b\ast j+c\ast k \end{gathered}$$
坐标轴对应关系
$$\{\begin{array}{c}{i}^{\prime }=u_{11}\ast i+u_{12}\ast j+u_{13}\ast k\\ j^{\prime }=u_{21}\ast i+u_{22}\ast j+u_{22}\ast k\\ k^{\prime }=u_{31}\ast i+u_{32}\ast j+u_{33}\ast k\end{array}$$
联立公式
$$\begin{gathered} O^{\prime }P=x^{\prime }\ast i^{\prime }+y^{\prime }\ast j^{\prime }+z^{\prime }\ast k^{\prime } \\ =x^{\prime }\ast (u_{11}\ast i+u_{12}\ast j+u_{13}\ast k) \\ +y^{\prime }\ast (u_{21}\ast i+u_{22}\ast j+u_{22}\ast k) \\ +z^{\prime }\ast (u_{31}\ast i+u_{32}\ast j+u_{33}\ast k) \\ =(u_{11}\ast x^{\prime }+u_{21}\ast y^{\prime }+u_{31}\ast z^{\prime })\ast i \\ +(u_{12}\ast x^{\prime }+u_{22}\ast y^{\prime }+u_{32}\ast z^{\prime })\ast j \\ +(u_{13}\ast x^{\prime }+u_{23}\ast y^{\prime }+u_{33}\ast z^{\prime })\ast k \end{gathered}$$
$OP=O{O}^{\prime }+O^{\prime }P$ ，于是
$$\{\begin{array}{c}x=a+u_{11}\ast x^{\prime }+u_{21}\ast y^{\prime }+u_{31}\ast z^{\prime }\\ y=b+u_{12}\ast x^{\prime }+u_{22}\ast y^{\prime }+u_{32}\ast z^{\prime }\\ z=c+u_{13}\ast x^{\prime }+u_{23}\ast y^{\prime }+u_{33}\ast z^{\prime }\end{array}$$
得转换关系
$$\left[\begin{array}{cccc}x& y& z& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{x}^{\prime }& y^{\prime }& z^{\prime }& 1\end{array}\right]\ast W$$
最终获得矩阵
$$W=\left[\begin{array}{cccc}{u}_{11}& u_{12}& u_{13}& 0\\ u_{21}& u_{22}& u_{23}& 0\\ u_{31}& u_{32}& u_{33}& 0\\ a& b& c& 1\end{array}\right]$$

全局坐标系到局部坐标系

因为
$$\left[\begin{array}{cccc}x& y& z& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{x}^{\prime }& y^{\prime }& z^{\prime }& 1\end{array}\right]\ast W$$
那么
$$\left[\begin{array}{cccc}x& y& z& 1\end{array}\right]\ast W^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}{x}^{\prime }& y^{\prime }& z^{\prime }& 1\end{array}\right]$$
观察到
$$W=\left[\begin{array}{cccc}{u}_{11}& u_{12}& u_{13}& 0\\ u_{21}& u_{22}& u_{23}& 0\\ u_{31}& u_{32}& u_{33}& 0\\ a& b& c& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{u}_{11}& u_{12}& u_{13}& 0\\ u_{21}& u_{22}& u_{23}& 0\\ u_{31}& u_{32}& u_{33}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ a& b& c& 1\end{array}\right]=R\cdot T$$
其中，$R$是旋转矩阵，$T$是平移矩阵
那么
$$W^{-1}=(R\cdot T{)}^{-1}=T^{-1}\ast R^{-1}$$
其中
$$T^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ -a& -b& -c& 1\end{array}\right]$$
如果$R$是正定矩阵，即$R\cdot R^{-1}=E$。那么
$$R^{-1}=R^T=\left[\begin{array}{cccc}{u}_{11}& u_{21}& u_{31}& 0\\ u_{12}& u_{22}& u_{32}& 0\\ u_{13}& u_{23}& u_{33}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
直接可计算$W^{-1}$。

但如果$R$不是正定方阵，即局部坐标系的坐标轴不是右手系相互垂直的，那么还是直接求逆得$W^{-1}$。