欧几里得算法/扩展欧几里得算法的Python实现

欧几里得算法的实现

先看百度百科对欧几里得算法的介绍：

欧几里德算法又称辗转相除法，是指用于计算两个正整数a，b的最大公约数。
计算公式：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。

反复计算上式，当算式所得余数为0时，该算式的除数就为a，b两个数的最大公因数。

看到上面这个公式，我们很自然想到用递归解决这个问题。代码如下：

# dividend——被除数，divisor——除数
def gcd(dividend, divisor):
    if 0 == divisor:
        return dividend
        
    dividend, divisor = divisor, dividend % divisor
    
    return gcd(dividend, divisor)

或者这样写：

# dividend——被除数，divisor——除数
def gcd(dividend, divisor):
    if 0 == divisor:
        return dividend
        
    return gcd(divisor, dividend % divisor)

当然，也可以用循环解决。代码如下：

# dividend——被除数，divisor——除数
def gcd(dividend, divisor):
    while 0 != divisor:
        dividend, divisor = divisor, dividend % divisor

    return dividend

讨论一下时间复杂度:

不妨令被除数（a）大于除数（b），即：
$$a>b；a，b̸=0$$
（1）当 b 等于 1 时：
$$a÷b=a\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 0$$
a，b的最大公因数为 b，即：1
时间复杂度为O(1)

（2）当 b 大于 1 时：
$$a÷b=c\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot d$$
因为 $d>0$，所以 $c<b/2$ 恒成立
即：a每次的值会减少一半以上
时间复杂度为O(logn)

由此可得，欧几里得算法的时间复杂度为O(logn)。

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扩展欧几里得算法的实现

同样先看百度百科对扩展欧几里得算法的介绍：

扩展欧几里德算法是用来在已知a， b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式：
aX + bY = gcd(a, b) = d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。

这个算式不太好理解，因此不知道该如何写代码。我们先对这个式子进行演算。
演算步骤如下：

不妨令被除数（a）大于除数（b），即：
$$a>b；a，b̸=0$$
设：
$$a{X}_1+b{Y}_1=gcd(a,b)$$
又设：
$$b{X}_2+(a\%b)Y_2=gcd(b,(a\%b))$$
由欧几里得定理：
$$gcd(a,b)=gcd(b,(a\%b))$$
可得:
$$a{X}_1+b{Y}_1=b{X}_2+(a\%b)Y_2$$
又因为在数学中：
$$a\%b=a-[a/b]\ast b$$
则：
$$a{X}_1+b{Y}_1=b{X}_2+(a-[a/b]\ast b)Y_2=b{X}_2+a{Y}_2-[a/b]\ast b{Y}_2$$
化简得：
$$a{X}_1+b{Y}_1=a{Y}_2+b(X_2-[a/b]Y_2)$$
由恒等式可得：
$$X_1=Y_2,Y_1=X_2-[a/b]Y_2$$

由于gcd的不断递归，[a/b] 最终必然会等于 0 。
基于上式，我们便可以用递归解决这个问题了。代码如下：

import math

# dividend——被除数，divisor——除数，remainder——余数
def ex_gcd(dividend, divisor):
    if 0 == divisor:
        # 易证明：当除数等于0时，可得 X = 1， Y = 0。假设最大公因数为被除数。
        # 注意：数学上，0和自然数没有最大公因数，此处是为了方便理解。
        return 1, 0, dividend
        
    # 得到 X2 和 Y2 的值，并且将求最大公因数的步骤混入其中了
    x2, y2, remainder = ex_gcd(divisor, dividend % divisor)
    
    # 得到 X1 和 Y1 的值
    temp = x2
    x1 = y2
    y1 = temp - int(math.floor(dividend / divisor)) * y2
    
    return x1, y1, remainder

由于主要算法还是欧几里得算法，因此时间复杂度仍然为O(logn)。

如有错误，欢迎指正。感谢各位的阅览。