HDU 1695 莫比乌斯反演

莫比乌斯反演

对于定义在非负整数上的两个函数F(x)， f(x) : 若
F(n)=∑d|nf(d)
则

f(n)=∑d|nu(d)F(nd)　(1)

其中： u(d) 就是莫比乌斯函数, 它的定义如下

u(d)=⎧⎩⎨1,(−1)k, 0,d=1d=p1p2p3⋅⋅⋅pk,pi是质数，iϵ[1,k]其它(2)

常见性质 ：

∑d|nu(d)={1, 0,n=1n>１(3)

证明 : (1)

∑d|nu(d)F(nd)=∑d|nu(d)∑d′|ndf(d′) =∑d′|ndu(d′)∑d|nf(d)根据(3) =∑d′|1u(d′)f(n)=f(n)得证

还有一种形式的反演变换:
若 F(n)=∑n|df(d) 　

f(n)=∑n|du(dn)F(d)证明和(1)类似

典型的反演:
n=∑d|nϕ(d)
ϕ(n)=∑d|nu(d)∗nd

/*莫比乌斯函数线性筛法*/
int mobius[N], prime[N];
bool vis[N];
void getMobius(){
    memset(vis, 0, sizeof vis);
    memset(mobius, 0, sizeof mobius);
    mobius[1] = 1;
    int cnt = 0;
    for(int i = 2; i < N; ++i){
        if(!vis[i]) {
            mobius[i] = -1;/*质数**/
            prime[++cnt] = i;
        }
        for(int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] < N; ++j){
            vis[prime[j] * i] = 1;
            if(i % prime[j] == 0) {
                mobius[i * prime[j]] = 0;
/**某个质因子出现两个以上*/
                break;
            }
            mobius[i * prime[j]] =  mobius[i];
          }
    }
}

题解

分别在[1, n]和[1, m]中找出一对x, y满足gcd(x, y) = k
就是求在[1, n / k]和[1,m / k]中找出一对x’, y’满足gcd(x’, y’) = 1
暴力枚举极端情况O(n^2)n最大100000会T
所以定义 f(d)为[1,N]和[1,M]中gcd(x,y)=d的数对
在定义 F(x)为[1,N]和[1,M]中gcd(x,y)是d的倍数的数对

明显 F(x)=N/x∗M/x
且有公式 F(x)=∑x|df(d)

根据莫比乌斯反演， 得：
f(x)=∑x|du(dx)F(d)
因此

f(1)=∑i=1min(N,M)u(i)F(i)

然后在去掉重复的对数：[1, min(N, M)]有一半重复就可解

code

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 100005;

int mobius[N], prime[N];
bool vis[N];
int a, b, c, d, k;

void init(){
    memset(vis, 0, sizeof vis);
    memset(mobius, 0, sizeof mobius);
    mobius[1] = 1;
    int cnt = 0;
    for(int i = 2; i < N; ++i){
        if(!vis[i]) {
            mobius[i] = -1;
            prime[++cnt] = i;
        }
        for(int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] < N; ++j){
            vis[prime[j] * i] = 1;
            if(i % prime[j] == 0) {
                mobius[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            mobius[i * prime[j]] = -mobius[i];
        }
    }

}

inline void input(){
    cin >> a >> b >> c >> d >> k;
}

void solve(){
    if(b < d) swap(b, d);
    b /= k;
    d /= k;
    ll ans1 = 0, ans2 = 0;
    for(int i = 1; i <= d; ++i){
        ans1 += mobius[i] * 1ll * (b / i) * (d / i);
        ans2 += mobius[i] * 1ll * (d / i) * (d / i);
    }

    cout << ans1 - (ans2 >> 1) << endl;
}

int main(){

    int cas = 1, t;
    cin >> t;
    init();

    while(t--){
        input();
        cout << "Case " << cas++ << ": ";
        if(k == 0) {
                cout << "0" << endl;continue;
        }
        solve();
    }

    return 0;
}