Burst Balloons

题目来源leetcode 312

给定一个长度为n的正整数数组，代表一组气球，正整数的值代表气球的价值。现在要依次引爆这些气球，每当引爆一个气球的时候，就可以得到该气球的价值与与其相邻的两个气球的价值的乘积。如果引爆一个气球时，它没有两个与其相邻的气球，那么在空缺的相邻位就视为有一个价值为1的气球。要求求出通过引爆这些气球可以得到的最大分数。

这个问题可以用动态规划的思想来解决。首先在原数组的两侧分别加上一个1，将问题转换为：不引爆两端的气球，所能得到的最大分数。这个问题与原问题是等价的。现在用dp[i][j]来表示在下标为i到下标为j的范围之中，不引爆两端的气球，所能得到的最大分数。dp[0][n+1]即为所求结果。同时，对于所有的dp[i][i]及dp[i][i+1]，它们均为0。现在讨论状态转移方程。对于dp[i][j]，可以依次选取下标在i+1到j-1的气球作为最后一个引爆。设下标为k的气球最后一个引爆，这样问题就转换为在下标范围i到k中不引爆下标为i和下标为k的气球得到最大分数，再在下标范围k到j中不引爆下标为k和下标为j的气球得到最大分数，再引爆下标为k的气球得到一个分数，最后三个分数的总和就是dp[i][j]的值。由此得出dp[i][j]=max(dp[i][k]+dp[k][j]+v[k]*v[i]*v[j])，其中i+1<=k<=j-1。问题得以解决。状态数为O(n^2)个，处理每个状态需要O(n)的时间，因此总复杂度为O(n^3)。

    int maxCoins(vector& nums) {
	vector num = nums;
	num.insert(num.begin(), 1);
	num.push_back(1);
	vector > dp(num.size(), vector(num.size(), 0));
	for (int j = 2; j < num.size(); j++)
	{
		for (int i = j-2; i>=0; i--)
		{
			for (int k = i + 1; k < j; k++)
			{
				if (dp[i][k] + dp[k][j] + num[k] * num[i] * num[j]>dp[i][j])
					dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k][j] + num[k] * num[i] * num[j];
			}
		}
	}
	return dp[0][num.size() - 1];
}