4013: [HNOI2015]实验比较

4013: [HNOI2015]实验比较

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Description

小 D  被邀请到实验室，做一个跟图片质量评价相关的主观实验。实验用到的图片集一共有  N  张图片，编号为  1  到  N 。实验分若干轮进行，在每轮实验中，小  D 会被要求观看某两张随机选取的图片，  然后小 D  需要根据他自己主观上的判断确定这两张图片谁好谁坏，或者这两张图片质量差不多。 用符号“ < ”、“ > ”和“ = ”表示图片  x 和 y （ x 、 y 为图片编号）之间的比较：如果上下文中  x  和  y  是图片编号，则  x 表示图片  x “质量优于” y ， x>y  表示图片  x “质量差于” y ， x=y 表示图片  x 和  y “质量相同”；也就是说，这种上下文中，“ < ”、“ > ”、“ = ”分别是质量优于、质量差于、质量相同的意思；在其他上下文中，这三个符号分别是小于、大于、等于的含义。图片质量比较的推理规则（在  x 和 y 是图片编号的上下文中）：（ 1 ） x < y 等价于  y > x 。（ 2 ）若  x < y  且 y = z ，则 x < z 。（ 3 ）若 x < y 且  x = z ，则  z < y 。（ 4 ） x=y 等价于  y=x 。（ 5 ）若 x=y 且  y=z ，则 x=z 。  实验中，小  D  需要对一些图片对 (x, y) ，给出  x < y  或  x = y  或  x > y  的主观判断。小 D  在做完实验后，  忽然对这个基于局部比较的实验的一些全局性质产生了兴趣。在主观实验数据给定的情形下，定义这  N  张图片的一个合法质量序列为形如“ x1 R1 x2 R2 x3 R3  … xN-1 RN-1 xN ”的串，也可看作是集合 { xi Ri xi+1|1<=i<=N-1} ，其中  xi 为图片编号， x1,x2, … ,xN 两两互不相同（即不存在重复编号）， Ri 为 < 或 = ，“合法”是指这个图片质量序列与任何一对主观实验给出的判断不冲突。  例如：  质量序列 3 < 1 = 2  与主观判断“ 3 > 1 ， 3 = 2”冲突（因为质量序列中 3<1  且 1=2 ，从而 3<2 ，这与主观判断中的  3=2  冲突；同时质量序列中的  3<1  与主观判断中的  3>1  冲突）  ，但与主观判断“ 2 = 1 ， 3 < 2”   不冲突；因此给定主观判断“ 3>1 ， 3=2”时，1<3=2  和 1<2=3  都是合法的质量序列， 3<1=2  和 1<2<3 都是非法的质量序列。由于实验已经做完一段时间了，小 D  已经忘了一部分主观实验的数据。对每张图片  i ，小  D  都最多只记住了某一张质量不比  i  差的另一张图片  Ki 。这些小  D  仍然记得的质量判断一共有  M  条（ 0 <= M <= N ），其中第 i  条涉及的图片对为 (KXi, Xi) ，判断要么是 KXi   < Xi   ，要么是 KXi = Xi ，而且所有的 Xi 互不相同。小 D  打算就以这 M  条自己还记得的质量判断作为他的所有主观数据。现在，基于这些主观数据，我们希望你帮小  D  求出这  N  张图片一共有多少个不同的合法质量序列。我们规定： 如果质量序列中出现“ x = y ”，那么序列中交换  x 和 y 的位置后仍是同一个序列。 因此：  1<2=3=4<5  和 1<4=2=3<5  是同一个序列，  1 < 2 = 3  和  1 < 3 = 2  是同一个序列，而 1 < 2 < 3  与 1 < 2 = 3 是不同的序列， 1<2<3 和 2<1<3  是不同的序列。 由于合法的图片质量序列可能很多，  所以你需要输出答案对 10^9 + 7  取模的结果

Input

第一行两个正整数N,M，分别代表图片总数和小D仍然记得的判断的条数；

接下来M行，每行一条判断，每条判断形如”x < y”或者”x = y”。 

Output

 输出仅一行，包含一个正整数，表示合法质量序列的数目对 10^9+7取模的结果。

Sample Input

5 4
1 < 2
1 < 3
2 < 4
1 = 5

Sample Output

5

HINT

 不同的合法序列共5个，如下所示： 

1 = 5 < 2 < 3 < 4 

1 = 5 < 2 < 4 < 3 

1 = 5 < 2 < 3 = 4 

1 = 5 < 3 < 2 < 4 

1 = 5 < 2 = 3 < 4 

100%的数据满足N<=100。  

Source

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注意到对于第i张照片，不比i差的照片最多只有一张 首先用并查集把所有等号合并，如果有关系i < j，那么连一条有向边(i,j) 如果无解，肯定会形成环，否则，对所有入度为0的点，连有向边(0,i)，这样就将原图构成了一棵树 考虑树上dp，定义f[i][j]:以i为根的子树中，分成了j种等级，方案数 转移的话，考虑逐个处理好儿子k的情况，将所有情况暴力枚举然后合并到i里 这样就变成，需求将一个a种等级的序列和另一个b种等级的序列合并成k种等级的序列的方案数 合并成k种等级等于有k个坑要填，同一个序列中任意两个数不能放在同一个坑里 但是不同序列中的两个数就没有这样的限制了 不妨先将序列a的数字放入坑中，共C[k][a]种填法 然后把b的也放进来，先要把空位填满，然后和a中任意一些数字合并 所以方案共是C[k][a] * C[a][a + b - k]
复杂度的话，看似O(N^4)，但是，每个点对只会在其LCA处被枚举到并产生O(N)的运算量 精细地实现的话复杂度是O(N^3)的

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
 
const int maxn = 111;
typedef long long LL;
const LL mo = 1000000007;
const char D[3] = {'<','=','>'};
 
int n,m,fa[maxn],du[maxn],siz[maxn],f[maxn][maxn],h[maxn],C[maxn][maxn];
bool G[maxn][maxn],vis[maxn];
 
vector  v[maxn],g[maxn];
queue  Q;
 
int Mul(const LL &x,const LL &y) {return x * y % mo;}
int Add(const int &x,const int &y) {return (x + y) % mo;}
int getfa(int k) {return k == fa[k] ? k : fa[k] = getfa(fa[k]);}
 
int Read()
{
    char ch = getchar();
    while (ch != '<' && ch != '=' && ch != '>') ch = getchar();
    for (int i = 0; ; i++) if (ch == D[i]) return i;
}
 
int getint()
{
    char ch = getchar(); int ret = 0;
    while (ch < '0' || '9' < ch) ch = getchar();
    while ('0' <= ch && ch <= '9')
        ret = ret * 10 + ch - '0',ch = getchar();
    return ret;
}
 
void Dfs(int x)
{
    siz[x] = f[x][1] = 1;
    for (int I = 0; I < v[x].size(); I++)
    {
        int y = v[x][I]; Dfs(y);
        for (int i = 0; i < siz[x]; i++)
            for (int j = 1; j <= siz[y]; j++)
                for (int k = max(i,j); k <= i + j; k++)
                {
                    int A = Mul(f[x][i+1],f[y][j]);
                    int B = Mul(C[k][i],C[i][j-k+i]);
                    h[k+1] = Add(h[k+1],Mul(A,B));
                }
        memcpy(f[x],h,sizeof(h)); memset(h,0,sizeof(h)); siz[x] += siz[y];
    }
}
 
int main()
{
    #ifdef DMC
        freopen("DMC.txt","r",stdin);
    #endif
     
    n = getint(); m = getint(); C[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    { 
        C[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            C[i][j] = Add(C[i-1][j],C[i-1][j-1]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
    while (m--)
    {
        int x = getint(),typ,y;
        typ = Read(); y = getint();
        if (!typ) g[x].push_back(y);
        else if (typ == 2) g[y].push_back(x);
        else
        {
            int fx = getfa(x),fy = getfa(y);
            if (fx != fy) fa[fx] = fy;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int x = getfa(i);
        for (int j = 0; j < g[i].size(); j++)
        {
            int y = getfa(g[i][j]);
            if (!G[x][y]) v[x].push_back(y),++du[y],G[x][y] = 1;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (!du[i] && fa[i] == i) ++du[i],v[0].push_back(i);
     
    Q.push(0);
    while (!Q.empty())
    {
        int k = Q.front(); Q.pop(); vis[k] = 1;
        for (int i = 0; i < v[k].size(); i++)
        {
            int to = v[k][i]; --du[to];
            if (!du[to]) Q.push(to);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) if (!vis[i] && fa[i] == i) {puts("0"); return 0;}
    Dfs(0); int Ans = 0;
    for (int i = 1; i <= siz[0]; i++) Ans = Add(Ans,f[0][i]);
    cout << Ans << endl;
    return 0;
}