4830: [Hnoi2017]抛硬币

4830: [Hnoi2017]抛硬币

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Description

小A和小B是一对好朋友，他们经常一起愉快的玩耍。最近小B沉迷于**师手游，天天刷本，根本无心搞学习。但是
已经入坑了几个月，却一次都没有抽到SSR，让他非常怀疑人生。勤勉的小A为了劝说小B早日脱坑，认真学习，决
定以抛硬币的形式让小B明白他是一个彻彻底底的非洲人，从而对这个游戏绝望。两个人同时抛b次硬币，如果小A
的正面朝上的次数大于小B正面朝上的次数，则小A获胜。但事实上，小A也曾经沉迷过拉拉游戏，而且他一次UR也
没有抽到过，所以他对于自己的运气也没有太大把握。所以他决定在小B没注意的时候作弊，悄悄地多抛几次硬币
，当然，为了不让小B怀疑，他不会抛太多次。现在小A想问你，在多少种可能的情况下，他能够胜过小B呢？由于
答案可能太大，所以你只需要输出答案在十进制表示下的最后k位即可。
Input

有多组数据，对于每组数据输入三个数a,b,k，分别代表小A抛硬币的次数，小B抛硬币的次
数，以及最终答案保留多少位整数。
1≤a,b≤10^15,b≤a≤b+10000,1≤k≤9，数据组数小于等于10。
Output

对于每组数据，输出一个数，表示最终答案的最后k位为多少，若不足k位以0补全。
Sample Input

2 1 9
Sample Output

000000004

6

3 2 1

【样例解释】

对于第一组数据，当小A抛2次硬币，小B抛1次硬币时，共有4种方案使得小A正面朝上的

次数比小B多。(01,0),(10,0),(11,0),(11,1)

对于第二组数据，当小A抛3次硬币，小B抛2次硬币时，共有16种方案使得小A正面朝上的次数比小B多。(001,00),

(010,00),(100,00),(011,00),(101,00),(110,00),(111,00),(011,01),(101,01),(110,01),(111,01),(011,10),

(101,10),(110,10),(111,10),(111,11)
HINT

Source

将两人的硬币序列拼接在一起，形成一个长为 a+b 的序列
总共可能的不同序列共有 2a+b 种
假设 a≠b ，设序列中原小A的位有 A 个 1 ，原小B的位有 B 个 1
当 A>B 小A获胜
当 A<B ∵a>b ∴a−A>b−B ，那么能对应到一个小A取胜的方案
同理，当 A=B 也能翻转后对应一个小A取胜的方案
于是 Ans=2a+b+G2
其中 G 为无论是否翻转序列都是小a取胜的方案，那么有
G=∑bi=0Cib∑b−a−1j=1Ci+ja=∑bi=0∑b−a−1j=1Cb−ib∗Ci+ja
还是考虑长度为 a+b 的序列，每一种在序列中放置 b+j(j>0) 个硬币的方案
总是唯一对应着一组 b−i,i+j 的拆分，于是 G=∑b−a−1i=1Cb+ia+b
当 a=b 时，若 A≠B ，那么任意串及其翻转串一定有且仅有一个是小A胜
否则，翻转之后小A仍然无法取胜
那么 Ans=22a−F2 ，其中 F 为所有 A=B 的情形
F=∑ai=0Cia∗Cia=∑ai=0Cia∗Ca−ia=Ca2a
剩下的都是大组合数取模的问题了，用扩展Lucas定理解决即可
由于模数并不和2互质，所以除以2的操作需要讨论
对于2的幂次，求的过程中直接让幂次少1即可
对于组合数部分，如果该层杨辉三角为奇数个，那么中间那个东西显然是偶数
因此这个单独的组合数可以在合并同余方程组前直接除以2
其他部分考虑杨辉三角的对称性，统计一半就可以了

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

typedef long long LL;
const LL p2 = 512;
const LL p5 = 1953125;
const LL phi2 = 256;
const LL phi5 = 1562500;
const LL Mod = 1000000000;

struct data{
    LL x,y; data(){}
    data(LL x,LL y): x(x),y(y){}
};

int mo[10];
LL a,b,k,Inv,G,g2[520],g5[2000000],pw2[520],pw5[2000000];

inline void Extend_Gcd(LL a,LL &x,LL b,LL &y)
{
    if (!b) {x = 1; y = 0; return;}
    Extend_Gcd(b,y,a % b,x); y -= x * (a / b);
}

inline int Get_Inv(int x,int y)
{
    LL p,q;
    Extend_Gcd(x,p,y,q);
    return (p % y + y) % y;
}

inline LL ksm(LL x,LL y,LL p)
{
    LL ret = 1;
    for (; y; y >>= 1LL)
    {
        if (y & 1LL) ret = ret * x % p;
        x = x * x % p;
    }
    return ret;
}

inline data Calc_2(LL n)
{
    if (n <= 1) return data(1,0);
    data ret; ret.y = n / 2LL;
    ret.x = pw2[n / p2 % phi2] * g2[n % p2] % p2;
    data T = Calc_2(n / 2LL);
    ret.y += T.y; ret.x *= T.x;
    ret.x %= p2; return ret;
}

inline int Extend_Lucas_2(LL n,LL m,bool Div)
{
    data B = Calc_2(m),C = Calc_2(n - m);
    data A = Calc_2(n); A.y -= B.y; A.y -= C.y;
    LL g = Get_Inv(B.x,p2),h = Get_Inv(C.x,p2);
    A.x = A.x * g % p2 * h % p2;
    if (Div) A.y -= 1LL;
    return A.x * ksm(2,A.y,p2) % p2;
}

inline data Calc_5(LL n)
{
    if (n < 5) return data(g5[n],0);
    data ret; ret.y = n / 5LL;
    ret.x = pw5[n / p5 % phi5] * g5[n % p5] % p5;
    data T = Calc_5(n / 5LL);
    ret.y += T.y; ret.x *= T.x;
    ret.x %= p5; return ret;
}

inline int Extend_Lucas_5(LL n,LL m,bool Div)
{
    data B = Calc_5(m),C = Calc_5(n - m);
    data A = Calc_5(n); A.y -= B.y; A.y -= C.y;
    LL g = Get_Inv(B.x,p5),h = Get_Inv(C.x,p5);
    A.x = A.x * g % p5 * h % p5;
    if (Div) A.x *= G,A.x %= Mod;
    return A.x * ksm(5,A.y,p5) % p5;
}

inline LL C(LL n,LL m,bool Div)
{
    LL A = Extend_Lucas_2(n,m,Div);
    LL B = Extend_Lucas_5(n,m,Div);
    LL k2 = (A - B) * Inv % p2;
    return ((k2 + p2) % p2 * p5 + B) % Mod;
}

inline LL getLL()
{
    char ch = getchar(); LL ret = 0;
    while (ch < '0' || '9' < ch)
    {
        if (ch == EOF) return -1;
        ch = getchar();
    }
    while ('0' <= ch && ch <= '9')
        ret = ret * 10LL + 1LL * (ch - '0'),ch = getchar();
    return ret;
}

inline void Print(int Ans)
{
    if (k == 9) printf("%09d\n",Ans);
    else if (k == 8) printf("%08d\n",Ans % mo[8]);
    else if (k == 7) printf("%07d\n",Ans % mo[7]);
    else if (k == 6) printf("%06d\n",Ans % mo[6]);
    else if (k == 5) printf("%05d\n",Ans % mo[5]);
    else if (k == 4) printf("%04d\n",Ans % mo[4]);
    else if (k == 3) printf("%03d\n",Ans % mo[3]);
    else if (k == 2) printf("%02d\n",Ans % mo[2]);
    else if (k == 1) printf("%01d\n",Ans % mo[1]);
}

int main()
{
    #ifdef DMC
        freopen("DMC.txt","r",stdin);
    #endif

    mo[0] = g2[0] = g5[0] = pw2[0] = pw5[0] = 1;
    G = Get_Inv(2,p5); Inv = Get_Inv(p5,p2);
    for (int i = 1; i < 10; i++) mo[i] = mo[i - 1] * 10;
    for (LL i = 1; i <= p2; i++)
        g2[i] = (i % 2 == 0) ? g2[i - 1] : i * g2[i - 1] % Mod;
    for (LL i = 1; i <= p5; i++)
        g5[i] = (i % 5 == 0) ? g5[i - 1] : i * g5[i - 1] % Mod;
    for (int i = 1; i <= phi2; i++) pw2[i] = pw2[i - 1] * g2[p2] % p2;
    for (int i = 1; i <= phi5; i++) pw5[i] = pw5[i - 1] * g5[p5] % p5;
    for (;;)
    {
        a = getLL(); if (a == -1) break;
        b = getLL(); k = getLL();
        LL Ans = ksm(2,a + b - 1LL,Mod);
        if (a == b) Ans -= C(a + b,a,1);
        else
        {
            if (~(a + b) & 1) Ans += C(a + b,(a + b) / 2LL,1);
            for (LL i = (a + b) / 2LL + 1LL; i < a; i++)
                Ans += C(a + b,i,0);
        }
        Ans %= Mod; if (Ans < 0) Ans += Mod; Print(Ans);
    }
    return 0;
}