【noip2009】HackSon的趣味题

题目描述 Description

Hanks 博士是BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫Hankson。现
在，刚刚放学回家的Hankson 正在思考一个有趣的问题。
今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1 和c2 的最大公约数和最小公倍数。现
在Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公
倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0,a1,b0,b1，设某未知正整
数x 满足：
1． x 和a0 的最大公约数是a1；
2． x 和b0 的最小公倍数是b1。
Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的
x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x 的个数。请你帮
助他编程求解这个问题。

输入描述 Input Description

第一行为一个正整数n，表示有n 组输入数据。接下来的n 行每
行一组输入数据，为四个正整数a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入
数据保证a0 能被a1 整除，b1 能被b0 整除。

输出描述 Output Description

每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出0；
若存在这样的 x，请输出满足条件的x 的个数；

样例输入 Sample Input

2
41 1 96 288
95 1 37 1776

样例输出 Sample Output

6
2

数据范围及提示 Data Size & Hint

【说明】
第一组输入数据，x 可以是9、18、36、72、144、288，共有6 个。
第二组输入数据，x 可以是48、1776，共有2 个。
【数据范围】
对于 50%的数据，保证有1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且n≤100。
对于 100%的数据，保证有1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且n≤2000。

恩，这道题我其实水了一下，，因为实在是去打那么长的代码。。。

可以用数学公式推导一下：

lcm(x,b0)=x*b0/gcd(x,b0)=b1

b1=x*b0/gcd(x,b0)

gcd(x,b0)=x*b0/b1

gcd(x,b0)*b1/(x*b0)=1

gcd(x,b0)/(x*b0)*b1=1

gcd(x/x*b0,b0/x*b0)*b1=1

gcd(1/b0,1/x)*b1=1

gcd(b1/b0,b1/x)=1

这应该是史上最详尽的数学推导了。。。

可能在这里看着有点乱，看不懂的话抄到纸上一目了然，，不过还需要基础的最大公约数和最小公倍数的公式，不知道请自行百度。。。

然后我们还可以把gcd(x,a0)=a1化简为gcd(x/a1,a0/a1)=1

这样我们就可以根据这两个公式来判断。

还有一个小优化：成立的条件是：a0%a1=0 b1%b0=0 b1%x=0 x%a1=0 加了这四个判断条件程序跑得飞快。

代码很短。

【代码】

#include
#include
#include
using namespace std;
int n,a0,a1,b0,b1,x,ans;
int gcd(int a,int b){
	if (b==0) return a;
	else return gcd(b,a%b);
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	while (n>0){
		ans=0;
		scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
		if (a0%a1||b1%b0) {printf("0\n"); n--; continue;}
		for (int i=1;i*i<=b1;++i)
		  if (b1%i==0){
		  	x=i;
		  	if (x%a1==0)
		  	  if (gcd(a0/a1,x/a1)==1&&gcd(b1/b0,b1/x)==1) ans++;
		  	x=b1/i;
		  	if (x!=i&&x%a1==0)
		  	  if (gcd(a0/a1,x/a1)==1&&gcd(b1/b0,b1/x)==1) ans++;
		  }
		printf("%d\n",ans);
		n--;
	}
}