[BZOJ1485][HNOI2009]有趣的数列（卡特兰数+组合数学）

题目描述

传送门

题解

答案是卡特兰数，因为…打表可知？
但是实际上这道题可以抽象成一个卡特兰数的经典问题——出栈序列问题。
也就是说，问题等价为1-n依次入栈有多少可能的出栈序列
题目要求满足两个条件：奇数项和偶数项分别单增，并且每两个相邻的奇数项和偶数项满足奇数项小于偶数项
可以把这个问题看做：将1-n填到2n个空格中，填到奇数项时必须满足上一个奇数项已经有数，这时相当于是一个元素入栈；填到偶数项时必须满足上一个偶数项有数，并且它的前一个奇数项有数，这时相当于是一个元素出栈
这是由于栈的性质是：入栈时新元素放入栈的顶端；出栈是必须满足它的上面元素全部出栈，并且栈不为空。这两个性质分别和上面两个条件对应

代码

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define N 2000000
#define LL long long

int n,Mod;
int p[N+1],prime[N+1],cnt[N+1],num[N+1];
LL ans;

void get()
{
    for (int i=2;i<=N;++i)
    {
        if (!p[i]) prime[++prime[0]]=i,num[i]=prime[0];
        for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=N;++j)
        {
            p[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
int main()
{
    get();
    scanf("%d%d",&n,&Mod);
    for (int i=n+1;i<=2*n;++i)
    {
        int x=i;
        for (int j=1;x>1&&j<=prime[0]&&prime[j]*prime[j]<=x;++j)
            while (x%prime[j]==0) ++cnt[j],x/=prime[j];
        if (x>1) ++cnt[num[x]];
    }
    for (int i=1;i<=n+1;++i)
    {
        int x=i;
        for (int j=1;x>1&&j<=prime[0]&&prime[j]*prime[j]<=x;++j)
            while (x%prime[j]==0) --cnt[j],x/=prime[j];
        if (x>1) --cnt[num[x]];
    }
    ans=1LL;
    for (int i=1;i<=prime[0];++i)
        while (cnt[i])
        {
            ans=ans*(LL)prime[i]%Mod;
            --cnt[i];
        }
    printf("%lld\n",ans);
}