【BZOJ1076】[SCOI2008] 奖励关（状压DP）

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大致题意：总共有$n$个宝物和$k$个回合，每个回合系统将随机抛出一个宝物（抛出每个宝物的概率皆为$1/n$），吃掉一个宝物可以获得一定的积分（积分可能为负），而吃掉某个宝物有一定的前提，即先吃掉若干种宝物每个至少一次，才能吃掉该宝物。请你求出在最优策略的情况下的最优得分。

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状压$DP$

由于这道题的数据范围很小，我们可以考虑状压$DP$，状压DP就是用一个数二进制下的每一位来存储一个信息，这里就用来存储某个宝物是否被吃掉过。

我们可以用$f[i][j]$记录第$i$个回合，当前状态为$j$时能获得的最大收益。

如果我们正着DP，那么显然可以发现，当我们要从一个状态转移至另一个状态时，有可能前一个状态无法得到，因此我们要倒着推。

这样，我们就能得出DP转移方程：

f[i][j]+=max(f[i+1][j],f[i+1][j|(1<<(q-1))]+a[q]);

其中，我们要满足当前状态$j$满足吃掉宝物$q$所需的条件，然后枚举每一个符合条件的$j$即可。

注意，要判断当前状态$j$是否满足条件，有个很简单的方法：判断$j$&$s[q]$（$s[q]$存储吃掉宝物$q$所需的条件，这里也利用了状态压缩）是否等于$s[q]$，如果相等，便说明$j$这个状态中包含了$s[q]$，即说明当前状态满足吃掉宝物$q$所需的条件。

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状压$DP$

#include
#define N 15
#define K 100
using namespace std;
int n,k,a[N+5],s[N+5];
double f[K+5][(1<<N)+5];
inline char tc()
{
	static char ff[100000],*A=ff,*B=ff;
	return A==B&&(B=(A=ff)+fread(ff,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
inline void read(int &x)
{
	x=0;int f=1;char ch;
	while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;
	while(x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',isdigit(ch=tc()));
	x*=f;
}
int main()
{
	register int i,j,q;
	for(read(k),read(n),i=1;i<=n;++i)
		for(read(a[i]),read(j),s[i]=0;j;read(j))
			s[i]|=1<<(j-1);//用状态压缩将吃掉宝物所需的条件存储下来
	for(i=k;i;--i)//倒着进行DP
		for(j=0;j<(1<<n);++j)
		{
			for(q=1;q<=n;++q)
			{
				if((j&s[q])==s[q]) f[i][j]+=max(f[i+1][j],f[i+1][j|(1<<(q-1))]+a[q]);//判断是否满足条件，更新答案
				else f[i][j]+=f[i+1][j];
			}
			f[i][j]/=n;//由于每种情况的概率是1/n，所以要除以n
		}
	return printf("%.6lf",f[1][0]),0;
}