三维扫描仪[3]——标定·理论

这是极其严肃的一篇
相机标定是指建立相机图像像素位置与场景点位置之间的关系。我们需要求解相机的模型参数。
我们需要两个参数：相机内部参数和外部参数。
我们需要根据相机模型，由已知特征点的图像坐标和世界坐标，求解相机的模型参数。

该表中，ax、ay、u0、v0、γ是线性模型的内部参数。
ax、ay：有效焦距；
u0、v0：光学中心；
γ：多数情况下为0。

R、T是旋转矩阵和平移矩阵，称为外部参数。

k1、k2：径向畸变参数
p1、p2：切向畸变参数。
我来展示一下，用PhotoShop后期处理畸变的效果。

处理前


处理时

处理后（对比图）
可以很明显的发现

• 原图中心向屏幕外面凸出
• 原图四角向屏幕内凹陷
• 原图镜头暗角明显
• 修改后图片中心不再那么凸，四角也没有那么凹
• 镜头暗角被尽可能的消去
• 整张照片，该是平整的地方，相对平整；不像原图，整个尺子都是弯的
• 处理过后可以发现，整张照片比原图稍微小了一点点
  以上，有助于理解图像畸变，大致了解处理畸变需要调整什么，以及调整后的效果。

（一个镜头都有如此大的变化，何况两个呢）
（我为什么用PS？我是摄影师啦）

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相机模型有线性模型和非线性模型。
但不论是是什么模型，我们都需要标定，都需要估计出内外参数。

1. 线性最小二乘法
2. 非线性最小二乘法
3. Levenberg-Marquardt算法
4. 惩罚数法
   可以说思想都是找平稳点，把偏差调到最小。详细的数学模型请参考相关专业书籍。

基于2D平面靶标的相机标定（张正友标定法）

（拍黑板 重点！考试范围！）
在该方法中，要求相机在两个以上不同的方位拍摄一个平面靶标，相机和2D屏幕靶标都可以自由移动，不需要知道运动参数。在标定过程中，假定相机内部参数始终不变，即不论相机从任何角度拍摄靶标，相机内部参数都为常数，只有外部参数发生变化。

（有个导师就是好！随便淘宝随便搞！见过这么高级的标定板吗！）
（装B本性一览无余(￣▽￣)”）

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1.靶标平面与其图像平面之间的映射矩阵
这些方格就是标定点。
靶标平面上的三维点记为，其图像平面上的二维点记为。
相应的齐次坐标为，与。
相机基于针孔成像模型，空间点M和图像点m之间的映射关系为：

s：任意的非零尺度因子；
R：旋转矩阵，相机外部参数；
t：平移向量，相机外部参数；
A：相机内部参数矩阵（本篇最上面有这个矩阵）。
A矩阵中：

• (u0,v0)：主点坐标；
• ax：u轴的尺度因子；
• ay：v轴的尺度因子；
• γ：是u、v轴不垂直因子。
  我们设z=0，即靶标平面位于世界坐标系xy平面上。
  记旋转矩阵R的第i列为ri，由可得：
  

此时，仍使用M来表示靶标平面上的点，不过，缺少了z之后，靶标平面上的点M与对应的图像点m之间存在一个矩阵变换H，
其中，H=λA[r1 r2 t]是3*3矩阵，λ为常数因子。记H=[h1 h2 h3]（这个很重要！）
！！！！！！！！！！！！！
！[h1 h2 h3]=λA[r1 r2 t]！
！！！！！！！！！！！！！
t：从世界坐标系的原点到光心的矢量；
r1，r2：是图像平面两坐标轴，在世界坐标系中的方向矢量！

（牛逼的公式 从来都是美丽的 难以言喻的简约中带着蓬勃之力）

H的计算！目的是使实际图像坐标mi，与根据这个公式计算出的图像坐标之间，参差最小的过程。目标函数：

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2.求解相机参数矩阵
空间上的二次曲面可以表示为，其中。B是一个4*4对称矩阵，B乘以任意不为0的向量，仍描述同一二次曲面。
平面上的二次曲线可以表示为，其中。B是一个3*3对称矩阵，B乘以任意不为0的向量，仍描述同一二次曲线。
注意到B是对角矩阵，可以另表示为下面的六维向量：

设H中的第i列向量为，因此有
其中

这样一来，因为（R的正交性，不必特别在意这个r，知道最后结果就可以了），可得
！！！！！！！！！！！！！!
！Vb=0，V为2n*6的矩阵。!
！！！！！！！！！！！！！!

结论

1. 如果n>=3，b可以在相差一个尺度因子的意义下唯一确定。
2. 如果n=2，可以让B12=0。
   我们终于可以求出b了！

当求解完b，我们也可以求解出A，这样图像的外参数就可以求出来了。