拉格朗日插值法学习小记

此篇博客只是总结，具体详尽的定义证明请自己找论文，PPT。

插值函数：

假设现在有一个很恶心的函数f(x)，它是不规则的。
现在我们要构造出一个函数g(x)，它是f(x)的近似函数。

想要构造出g，一种方法是从f上找几个点，然后构造g，使得g经过这些点。

插值函数有很多种，我所说的是多项式插值。就是用代数多项式做插值函数的插值。
如果确定了k+1个点，那么g(x)是一个k次多项式。

根据证明，满足一组合法插值条件的插值函数是唯一的，至于为什么，可以转换成方程，方程的解唯一，插值函数就唯一了。

待定系数法：

就是列方程，设各个项的系数为未知数，然后解出方程，就可以得到插值多项式。初中生的叫法是函数解析式。

拉格朗日插值法：

某些人认为这个方法和中国剩余定理的构造思路很像，确实如此。

设这是个k次多项式，构造一个多项式 L(x) ，满足 L(xi)=f(xi)(0<=i<=k) 。

那么可以分开构造.

先构造出各个 Li(x)(0<=i<=k)
使得, Li(xi)=f(xi),Li(xj)=0(i≠j)

那么 L=∑ki=0Li .

∏kj=0(x−xj)(i≠j)∏kj=0(xi−xj)(i≠j)

把各个x代进上面这个式子，你会发现代进 xi ,得出的结果是1,代进 xj(i≠j) ,得出的结果是0。

乘上 f(x) ,可得：
Li=f(xi)∗∏kj=0(x−xj)(i≠j)∏kj=0(xi−xj)(i≠j)

L=∑ki=0Li
=∑ki=0f(xi)∗∏kj=0(x−xj)(i≠j)∏kj=0(xi−xj)(i≠j)

这就是拉格朗日插值法，Lagrange（发个英文名org这位神）。

不知道中考用这个方法求二次函数的解析式会如何？