【NOI2019模拟2019.6.28】抬头仰望梦的脚步（推导性质，类欧几里得算法）

Description：

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题解：

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首先暴力模拟这样的一个插入过程，不难发现每次就是找到v∈[x,y]的出现时间的最小的，然后走过去，区间变为[x,v-1]或[v+1,y]，一直到叶子节点。

先设d=gcd(b,m)
显然的结论是，2*m/d轮以后，每次插入只会使那个点的深度加一。

之所以不是m/d轮，是因为比如第x轮加了一个东西，剩下的可能加到它的子树中，第x+m/d轮时，就应是它第x轮的点的右子树的最左节点的深度+1。

如果我们能快速知道第x(x<=m/d)轮的点深度，
假设第x轮的权值是v，我们只需要讨论一下v和v+d的加入时间即可计算m/d轮以后的答案。

考虑第x(x<=m/d)轮的点深度，开头那个模拟的过程，找到[x,y]里的最小的，缩小范围，继续找，记录经过的点，实际上可以分成log段等差数列。

对于区间[x,y]，先找到了v1,再找到了v2,如果v2+(v2-v1)合法，那么下次找到的一定是这个。

这个利用反证法易得（也很显然），这样就类似于gcd的过程，所以是log段的。

那么现在的目标就是找到最小的x使$l<=(bx+a)<=r(modm)$

a是常数，相当于平移，可以去掉，也就是$l<=bx<=r(modm)$

一个暴力的做法：
$二分x，相当于求有多少y\ast bmodm<r(0<=y<=x)$

这是一个经典的问题，可以用标准类欧解决：
${\sum }_{i=0}^n[aimodc<y]$
$={\sum }_{i=0}^n\lfloor \frac{ai+c}{c}\rfloor -\lfloor \frac{ai+c-y}{c}\rfloor$

这样总复杂度是$O(nlo{g}^{3}n)$的，TLE了。

实际上找到最小的x使$l<=(bx+a)<=r(modm)$可以直接类欧实现做到一个log。

设$g(m,d,l,r)$表示最小的$x$使$l<=dxmodm<=r$

1. $l=0时，x=0$
2. $(l-1)/gcd(m,d)>=r/gcd(m,d)时，无解$
3. $d>m/d时，g(m,d,l,r)=g(m,m-d,m-r,m-l)$
4. $上述都不满足时，一定存在k，使km+l<=dx<=km+r，也就是l<=dx-km<=r，即-km\in [l,r](modd)，那么k=g(d,d-mmodd,l,r)，再计算x即可$

总复杂度$O(nlo{g}^{2}n)$

关于实现的一点小细节，其实不用判断v和v+d到底是谁早，可以求v的左偏父亲和v+d的右偏父亲的个数和即可。

Code：

#include
#define fo(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <= B; i ++)
#define ff(i, x, y) for(int i = x, B = y; i <  B; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x, B = y; i >= B; i --)
#define ll long long
#define pp printf
#define hh pp("\n")
using namespace std;

int T;
int a, b, m; ll n;

ll gcd(ll x, ll y) { return !y ? x : gcd(y, x % y);}

int g(int m, int d, int l, int r) {
	ll x = l / d;
	if(l % d) x ++;
	if(x * d <= r) return x;
	if(d > m - d) return g(m, m - d, m - r, m - l);
	int k = g(d, (d - m % d) % d, l % d, r % d);
	x = (ll) k * m + l;
	ll y = x / d; if(x % d) y ++;
	return y;
}
int calc(int m, int d, int l, int r) {
	int gd = gcd(m, d);
	if(l == 0) return 0;
	if((l - 1) / gd >= r / gd) return m + 1;
	return g(m, d, l, r);
}
int calc2(int l, int r) {
	if(l - a >= 0)
		return calc(m, b, l - a, r - a);
	if(r - a < 0)
		return calc(m, b, l - a + m, r - a + m);
	return min(calc(m, b, l - a + m, m - 1), calc(m, b, 0, r - a));
}
int calc3(int x, int l, int r, int z) {
	int st = ((ll) calc2(l, r) * b + a) % m, ans = 0;
	while(st != x) {
		if(z) l = st + 1; else
		r = st - 1;
		if(l > r) return ans;
		int t = calc2(l, r);
		if(t > m) return ans;
		int nt = ((ll) t * b + a) % m;
		if(z) {
			int y = (r - st) / (nt - st);
			ans += y;
			st += y * (nt - st);
		} else {
			int y = (st - l) / (st - nt);
			ans += y;
			st -= y * (st - nt);
		}
	}
	return ans;
}
int gg(int x, int F) {
	int ans = 0;
	x = ((ll) b * x + a) % m;
	int s = calc3(x, 0, x, 1);
	if(F == 1) {
		int d = gcd(m, b);
		if(x + d < m) s += calc3(x + d, x + d, m - 1, 0) + 1;
	} else {	
		s += calc3(x, x, m - 1, 0);
	}
	return s;
}

int main() {
	freopen("fuwa.in", "r", stdin);
	freopen("fuwa.out", "w", stdout);
	scanf("%d", &T);
	fo(ii, 1, T) {
		scanf("%d %d %d %lld", &a, &b, &m, &n);
		b %= m;
		a = (a + b) % m; n --;
		int d = gcd(b, m);
		int m2 = m / d;
		pp("%lld\n", gg(n % m2, n >= m2) + (n / m2));
	}
}