Bzoj3817:Sum

抛开题目不管，先来认识一下类欧几里得算法

类欧几里得

就我所知(我自然是不懂什么的啦TAT)，类欧几里得算法大致是用来求解一类问题形如

∑i=1n⌊d∗i⌋

我们先写一个正比例函数，把d看作斜率

y=d∗x

把它放进平面直角坐标系中观察

y=OA

感性认知一下，是不是像求一个三角形（上图中的 OAB ）内的整点个数
这里的整点指横纵坐标皆为正整数的点，后文也都是这个意思
若d>=1那么式子可以变成

∑i=1n⌊d⌋∗i+(d−⌊d⌋)∗i

显然的 ∑ni=1⌊d⌋∗i 可以直接得出
(d−⌊d⌋) <1
下面我们只考虑d<1的情况
由于d<1，
所以上图由 y=OA 变成了 y=OC
所以纵坐标范围 d∗n 小于横坐标范围 n
若纵坐标为 j ，横坐标即为 jd
感性认知一下
y=j 与三角形 OCD 相交的那一部分的长度为 jd 吧
三角形 OBC 的整点数=四边形 OBCD 的整点数-三角形 OCD 的整点数+ OC 上的整点数
四边形 OBCD 的整点数显然为 ⌊d∗n⌋∗n 个吧
若d为有理数，可以表示成 ab （自然还是要约分的）的形式
OC 上的整点数= ⌊nb⌋
无理数就不会有交点了是吧
把三角形 OCD 放进另一个平面直角坐标系中

又转化成了原先的形式

n′=⌊d∗n⌋

d′=1d

可以递归求解
复杂度是 logn 的（并不会证明）

回到题目

r=R−−√

(−1)⌊i∗r⌋=1−2(⌊i∗r⌋mod2)=1−2∗(⌊i∗r⌋−2∗⌊⌊i∗r⌋2⌋)

∑i=1n(−1)i∗⌊r⌋=n−2∗∑i=1n⌊i∗r⌋+4∗∑i=1n⌊⌊i∗r⌋2⌋

R 如果是完全平方数显然可以直接得出答案
考虑 R 不是完全平方数，这时 r 为无理数
怎么办？
直接用实数存斜率，然后迭代
显然精度误差不是那么能承受的
考虑用一个三元组（a,b,c）来存表示斜率
斜率为 b∗r+ca
操作中斜率有两个变化

1. d=d−⌊d⌋
2. d=1d

第一个可以直接在c上面开刀

d−⌊d⌋=b∗r+ca−⌊d⌋=b∗r+(c−a∗⌊d⌋)a

第二个怎么办呢？

ab∗r+c=a∗(b∗r−c)(b∗r+c)∗(b∗r−c)=a∗b∗r+(−a∗c)b2∗R−c2

a′=b2∗R−c2

b′=a∗b

c′=−a∗c

注意递归中要约分啊

代码

#include 
#include 
#include 
#define gec getchar
using namespace std;
typedef long long ll;
char ch;
bool fl;
inline void read(int &a){
    for(fl=0,ch=gec();ch<'0'||ch>'9';ch=gec()) fl|=(ch=='-');
    for(a=0;ch>='0'&&ch<='9';ch=gec())a=(a<<3)+(a<<1)+(ch^'0');
    if(fl)a=-a;
}
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
int n,R,T;
double x;
int Solve(int n,int a,int b,int c){
    if(!n)return 0;
    int tmp=gcd(gcd(a,b),c);
    a/=tmp;b/=tmp;c/=tmp;
    tmp=(b*x+c)/a;c-=tmp*a;
    int Sum=((ll)n*(n+1)>>1)*tmp;
    int P=(b*x+c)/a*n;
    return Sum-Solve(P,b*b*R-c*c,a*b,-a*c)+(ll)P*n;
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&R);
        x=sqrt(R);
        int w=x;
        if(w*w==R) printf("%d\n",(w&1)?((n&1)?-1:0):n);
        else printf("%d\n",n+(Solve(n,2,1,0)<<2)-(Solve(n,1,1,0)<<1));
    }
    return 0;
}