类欧几里得算法总结

复习的时候发现已经忘得差不多了。。。

一些等式

a≤⌊bc⌋⇔ac≤ba≥⌈bc⌉⇔ac≥ba<⌈bc⌉⇔ac<ba>⌊bc⌋⇔ac>b(4) (4) a ≤ ⌊ b c ⌋ ⇔ a c ≤ b a ≥ ⌈ b c ⌉ ⇔ a c ≥ b a < ⌈ b c ⌉ ⇔ a c < b a > ⌊ b c ⌋ ⇔ a c > b

记住有等号则符号和大小与号一致，否则相反即可。

⌊bc⌋=⌈b−c+1c⌉⌈bc⌉=⌊b+c−1c⌋(5) (5) ⌊ b c ⌋ = ⌈ b − c + 1 c ⌉ ⌈ b c ⌉ = ⌊ b + c − 1 c ⌋

可以和上面几个等价关系一起用。

类欧几里得

∑i=0n⌊ai+bc⌋=======∑i=0n∑j=0⌊ai+bc⌋−11∑j=0⌊an+bc⌋−1∑i=0n[j<⌊ai+bc⌋]∑j=0⌊an+bc⌋−1∑i=0n[j<⌈ai+b−c+1c⌉]∑j=0⌊an+bc⌋−1∑i=0n[cj<ai+b−c+1]∑j=0⌊an+bc⌋−1∑i=0n[i>⌊cj+c−b−1a⌋]∑j=0⌊an+bc⌋−1[n−⌊cj+c−b−1a⌋]n∗⌊an+bc⌋−∑j=0⌊an+bc⌋−1[⌊cj+c−b−1a⌋](6) (6) ∑ i = 0 n ⌊ a i + b c ⌋ = ∑ i = 0 n ∑ j = 0 ⌊ a i + b c ⌋ − 1 1 = ∑ j = 0 ⌊ a n + b c ⌋ − 1 ∑ i = 0 n [ j < ⌊ a i + b c ⌋ ] = ∑ j = 0 ⌊ a n + b c ⌋ − 1 ∑ i = 0 n [ j < ⌈ a i + b − c + 1 c ⌉ ] = ∑ j = 0 ⌊ a n + b c ⌋ − 1 ∑ i = 0 n [ c j < a i + b − c + 1 ] = ∑ j = 0 ⌊ a n + b c ⌋ − 1 ∑ i = 0 n [ i > ⌊ c j + c − b − 1 a ⌋ ] = ∑ j = 0 ⌊ a n + b c ⌋ − 1 [ n − ⌊ c j + c − b − 1 a ⌋ ] = n ∗ ⌊ a n + b c ⌋ − ∑ j = 0 ⌊ a n + b c ⌋ − 1 [ ⌊ c j + c − b − 1 a ⌋ ]

递归下去即可。

扩展类欧几里得

其实欧几里得还有几类扩展，因为运用不多，所以我没学，具体可以看:传送门

实数类欧几里得

BZOJ3817

大概是给你一条从原点出发直线（斜率为 r√ r ）的直线下方整点的个数。迭代方法类似，不过斜率要单独记录。具体可以看:传送门

注意这种方法只对于直线没有经过整点的方法适用。经过整点可能需要一点讨论。