【总结】一般生成函数(OGF)&指数生成函数(EGF)&生成函数计数

介绍一些简单的概念和计数题

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生成函数概念

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一般生成函数(OGF)

考虑一类组合对象组成的集合$A$，对于集合中的每个元素$a$定义其大小为$|a|$(非负整数)，设大小为$n$的元素个数为$A_n$(所有$A_n$都是有限的)。

定义
$$A=\sum _{i=0}^{\infty }{A}_i{x}^i$$
为$A$的一般生成函数。

指数生成函数(EGF)

对于带标号组合对象组成的集合 A，定义
$$A=\sum _{i=0}^{\infty }\frac{A_i}{i!}{x}^i$$
为$A$的指数生成函数。

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关系

拼接两个对象$a,b$：
对于一般生成函数，方案唯一。
对于指数生成函数，由于集合中元素是带标号的，$a,b$拼接起来时只需保证拼接对象内部相对标号不变，方案数为$\frac{(|a|+|b|)!}{|a|!|b|!}$

普通型生成函数解决的是组合问题，而指数型生成函数解决的是排列问题。

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生成函数计数

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生成序列与集合

生成序列：
$seq(A)=\sum _{i=0}^{\infty }{A}^i=\frac{1}{1-A}$
生成集合：
$set(A)=\sum _{i=0}^{\infty }\frac{A^i}{i!}=e^A$

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置换计数

$k$轮换有$(k-1)!$个，$EGF$:$\frac{(k-1)!}{k!}{x}^k=\frac{x^k}{k}$
所有轮换的$EGF$:
$\sum _{i=0}^{\infty }\frac{x^i}{i}=-\ln (1-x)$。

故所有置换的$EGF$：
$e^{-\ln (1-x)}=\frac{1}{1-x}$。
故$n$置换的方案数为$n!$。

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背包计数

例：有 $\sum _{i=1}^n{a}_i$种物品，体积为$i$的物品有$a_i$种。每种物品有无限个。

$O(n\log n)$求解背包。
$\prod _{i=1}^n(\frac{1}{1-x^i}{)}^{a_i}$

套路转换为：
$\exp (-\sum _{i=1}^n{a}_i\ln (1-x^i))$
$=\exp (\sum _{i=1}^n{a}_i\sum _{j\ge 1}\frac{x^{ij}}{j})$
$=\exp (\sum _{j\ge 1}\frac{1}{j}A(x^j))$

$A(x^j)$只有$\frac{n}{j}$项有用，调和级数$O(n\log n)$求出后做一遍$\exp$即可。

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例题

BZOJ3625 小朋友和二叉树

给定 $n$ 和数组 $A$，对于所有$m\le n$，求有多少点带权二叉树，点权和为
$m$，且所有点的权值都在数组 $A$ 中，两棵二叉树不同，当且仅当根节点
点权不同，或者左右子树有至少一个不同。
$n\le 10^5$。

点的$OGF$：
$G(x)=\sum _{i=0}^{\infty }[i\in A]x^i$

设树的$OGF$：
$F=G{F}^2+1$。
$F=\frac{1}{1+\sqrt{1-G^2}}$
($F=\frac{1}{1-\sqrt{1-G^2}}$在0处不收敛，舍去)

BZOJ 3456：城市规划

求 $n$ 个点带标号的连通图个数。
$n\le 10^5$。

无向图的$EGF$：
$G(x)=\sum _{i=0}^{\infty }{2}^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{2}\right)}\frac{x^i}{i!}$
简单连通图的$EGF$：
$F(x)=\sum _{i=0}^{\infty }{f}_i\frac{x^i}{i!}$

无向图是由若干个简单连通图拼接起来的带标号集合。
$G=e^F\to F=\ln G$

BZOJ4228 Tibbar 的后花园

求 $n$个点的满足如下条件无向图个数：
任意三个点能互相到达的点 $a,b,c$，$dis(a,b),dis(b,c),dis(a,c)$ 不能三个
同时相等。
$n\le 10^5$。

满足条件的无向图只有链和长度不为3的倍数的环。

链的$EGF$：
$A(x)=\sum _{i=0}^{\infty }\frac{i!}{2}\frac{x^i}{i!}=\sum _{i=0}^{\infty }\frac{x^i}{2}$

环的$EGF$：
$B(x)=\sum _{i=0}^{\infty }(\frac{(3i)!}{2}\frac{x^{3i+1}}{(3i+1)!}+\frac{(3i+1)!}{2}\frac{x^{3i+2}}{(3i+2)!})=\sum _{i=0}^{\infty }(\frac{x^{3i+1}}{6i+2}+\frac{x^{3i+2}}{6i+4})$

答案$G=e^{A+B}$

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参考资料:
dzyo的讲义
指数型生成函数 及 多项式求ln-Mychael