【总结】点分治杂题

bzoj2566

点分树：维护每颗子树内所有相同颜色点到根距离的最小值+次小值。
再维护一个全局的最小答案。都可以套multiset(注意multiset直接删除一个值时是将所有这个值都删掉，只删除一个要用指针)

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hdu5571

拆位&点分树：
对于每个分治中心，维护管辖子树内0和1的个数及距离和以及它的每个儿子结点子树内0和1的个数及距离和(容斥用)。

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hdu5227

单个四元组可以看做一堆石子，它的石子数就是它的字典序大小(每次可以拿任意个)。同样一条路径可以看做Nim游戏。
问题转成了求石子数异或和为0的总路径数，点分治即可。

关键在于求四元组$(a,b,c,d)$的字典大小：

第一位不同：
$\sum _{t=1}^{a-1}\sum _{i=1}^t\sum _{j=1}^t\gcd (i,j)$
$=\sum _{t=1}^{a-1}\sum _{i=1}^t\phi (i)\lfloor \frac{t}{i}{\rfloor }^2$

可以对$1\le a\le 1000$统一$\sqrt{n}$预处理。

第二位不同：
$\sum _{t=1}^{b-1}\sum _{i=1}^a\gcd (t,i)$
$=\sum _{t=1}^{\min (b-1,a)}\phi (t)\lfloor \frac{b-1}{i}\rfloor \lfloor \frac{a}{i}\rfloor$

第三位不同：
$\sum _{i=1}^{c-1}\gcd (b,i)$
$=\sum _{i|b}\phi (i)\lfloor \frac{c-1}{i}\rfloor$

第四位不同：
$\max (d-1,0)$

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codechef-BTREE

题解

总询问点数$\le 500000$明示建虚树。
对于每个点，首先在点分树内算出单点贡献，再建出虚树容斥，对于每条存在重复计算点的边$(u,v)$：

二分出中点$z$，使得$r_u-dis(u,z)=r_v-dis(v,z)$。
那么在$u,v$共同覆盖的区域内从$u$一边出发：跨过$z$后$v$比$u$优，未跨过时$u$比$v$优。删去$z$能覆盖的范围的点(这部分被算了2次)。

p.s
为了避免$z$在边上的情况，可以在所有边上都建一个虚点。

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codechef-PRIMEDST

点分治：每个子集直接记录记录距离分治中心$k$的点数$f_k$，构造$f_k$的生成函数直接卷积就得到了经过分治中心长度为$k$的路径数，找到素数直接统计即可。

什么？$f_k$和子集卷积会算重？$2k$里面只有$2$是质数，特判一下即可。

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CF150E.Freezing with Style

求中位数直接套路二分把$\ge mid$的边权看做1，$<mid$的看做-1，找是否存在一条总权$\ge$的边。

处理子数信息需要单调队列和前缀和优化使得总复杂度降到$O(n{\log }^{2}n)$(二分套点分治)。

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CFgym100633D.LWDB

点分树，每个分治中心维护一个单调栈($d$递减，颜色不同，并维护时间戳)

每次查询$x$暴力跳点分树，跳到$y$时，二分出单调栈内最小的满足$d\ge dist(x,y)）$的点的颜色，取时间戳最大的。

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小结

求解有根树问题基本上都可以多个$\log$转成求解无根树所有点的答案。

路径问题都可以套点分治。

在线问题点分树，离线下来点分治。

点分治维护信息往往可以优化到$n\log n$或线性，存在一些常见套路(可以套很多东西(单调队列，BIT…)，也有很多东西可以套点分治(二分，拆位))。
注意复杂度。

点分治序也是个好东西。