我的人工智能之旅——线性代数基础

1.矩阵

矩阵，matrix，为m行n列的数据阵列。例如下例，为4x3阶矩阵。

2.方阵

mxn阶矩阵的m=n时，称为方阵，n阶方阵。

3.单位矩阵

单位矩阵，是指对角线数据为1，其它数据为0的n阶方阵。

4.逆矩阵

逆矩阵，matrix inverse。只有方阵才有逆矩阵。n阶矩阵A的逆矩阵，必须满足以下条件

其中I为n阶单位矩阵。

不是所有的矩阵都有逆矩阵。对于没有逆矩阵的矩阵，我们称之为奇异矩阵（singular matrix），或退化矩阵（degenerate matrix）。

最简单的零矩阵，就是最好的例子。下例为4阶零矩阵。

5.转置矩阵

mxn阶矩阵A的转置矩阵为nxm阶矩阵B，则B中的元素需要满足以下条件

矩阵A的转置矩阵表示为

例如，

6.向量

向量，vector，可以看作nx1阶矩阵，矩阵的每一列都可以看作是一个向量。若一个向量有n行，则称为n维向量。例如下例，为3维向量。

7.矩阵运算

7.1加/减法

只有相同维度的矩阵才能相加/减，结果为，对应元素加减结果所组成的矩阵。如下例

7.2乘法

7.2.1矩阵与实数

矩阵与实数的乘除运算，较为简单。结果为，对应元素乘除结果所组成的矩阵。如下例

7.2.2矩阵与向量

矩阵与向量的乘法，可以看作是简单的矩阵间的乘法。但乘法双方必须满足一定的条件。即前者的列数，必须等于后者的行数。即必须为axb阶矩阵和bxc阶矩阵的运算，运算结果为axc阶矩阵。因此，axb阶矩阵与b维向量的乘法运算结果为，a维向量。

例如，2x3阶矩阵A与3维向量B的乘法。结果为2维向量C。若i为C的行数，则

7.2.3矩阵与矩阵

有了矩阵与向量的乘法做基础，矩阵与矩阵的乘法就相对容易理解了。

例如，2x3阶矩阵A，乘以3x4阶矩阵B，结果为2x4阶矩阵C。

可以将矩阵B转换为4个3维向量Bi组合，而结果C可以看作4个2维向量Ci的组合，i=1 to 4（i即为列号）。

7.2.4交换律

在实数运算中，交换律是指，

AXB=BXA

但矩阵乘法不遵循交换律。理由很简单，比如4X3阶矩阵A，乘以3X4阶矩阵B，结果C为4X4阶矩阵。

而3X4阶矩阵B，乘以4X3阶矩阵A，结果C为3X3阶矩阵。因此，对于矩阵来说，不遵循交换律，即

AXB<>BXA

那么nXn阶矩阵的乘法呢，同样不遵循。例如，

当然，交换律，在方阵且相乘双方中一者为单位矩阵的情况下，成立。

7.2.5结合律

在实数运算中，结合律是指

AXBXC=(AXB)XC=AX(BXC)

矩阵乘法，同样也遵循结合律。