树状数组基础总结

树状数组基础总结

入门博文：http://www.cnblogs.com/acgoto/p/8583952.html

树状数组与线段树的思想的一些相同与不同。

共同点：同时一个节点维护多个叶子节点的信息

不同点：线段树节点采用二分的规则，而树状数组节点利用了bit位的性质来锁定管理的叶子节点，且树状数组只能直接查询1~i区间的信息，而线段树可以直接查询$[l,r]$ 区间信息，

树状数组可以解决问题的思路推广到线段树都可以用线段树解决。不过树状数组代码量是真的小！

树状数组核心函数：

这样的代码要求其叶子节点必须从1开始（因为此处维护的都是1~i的信息，可以改下代码使维护0到i的信息，不过代码就不简洁了）

int lowbit(ll val){ //获得val的1的最低位的二进制权值
    return  val&(-val);
}
int getsum(ll k)//遍历1~k区间的管理节点。
{
    ll ans=0;
    while(k>0)
    {
        ans+=bt[k];
        k-=lowbit(k);
    }
    return ans;
}
void modify(ll k,ll val)//向上更新管理叶子节点k的节点信息。
{
    while(k<=n)
    {
        bt[k]+=val;
        k+=lowbit(k);
    }
}

洛谷模板题，改点查段：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3374

#include
#define mset(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=5e5+100;
ll  qwe[maxn],n,q;
int lowbit(ll val){
    return  val&(-val);
}
int getsum(ll k)
{
    ll ans=0;
    while(k>0)
    {
        ans+=qwe[k];
        k-=lowbit(k);
    }
    return ans;
}
int modify(ll k,ll val)
{
    while(k<=n)
    {
        qwe[k]+=val;
        k+=lowbit(k);
    }
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin>>n>>q;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        ll val;
        cin>>val;
        modify(i,val);
    }
    while(q--)
    {
        ll fa,x,y;
        cin>>fa>>x>>y;
        if(fa==1)
        {
            modify(x,y);
        }
        else{
            cout<<getsum(y)-getsum(x-1)<<endl;
        }

    }
    return 0;

}

比如：LIS(最长递增子序列)，求逆序对，改点查段，改段查点的问题都可以用树状数组解决。

经典问题转化：

LIS(最长递增子序列)思想：

$f[i]$ 表示当前以值 $i$ 为递增子序列末尾的序列最长长度。每个叶子 $i$ 记录当前$f[i]$, 最大值，那么用树状数组节点维护其叶子节点的最大值即可。如果该此时序列中数字值为val，那么$f[val]=max(f[i]{)}_{i\in [1,val]}+1=getmax(i)+1$ ps：有时候需要离散化，所以还是二分求LIS比较好用

求逆序对思想：

每个叶子 $i$ 记录当前值i的出现次数，那么用树状数组节点维护其管理的叶子节点出现次数和即可，假设当前第k个数其值为val，那么前面大于val的个数=$k-1-getsum(val)$

#include
#define mset(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=5e5+100;
int tot,n;
int unq[maxn],qwe[maxn],bt[maxn];
int getind(int val)
{
    return lower_bound(unq,unq+tot,val)-unq;
}
int lowbit(int val)
{
    return val&-val;
}
ll getsum(int k)
{
    ll ans=0ll;
    while(k>0)
    {
        ans+=bt[k];
        k-=lowbit(k);
    }
    return ans;
}
void modify(int k)//k叶子+1
{
    while(k<=n)
    {
        ++bt[k];
        k+=lowbit(k);
    }
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;++i)
        cin>>unq[i],qwe[i]=unq[i];
    sort(unq,unq+n);
    tot=unique(unq,unq+n)-unq;
    ll ans=0ll;
    mset(bt,0);
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        int ind=getind(qwe[i])+1;
//        cout<<"ind:"<
        ans+=i-getsum(ind);
        modify(ind);
        /*先求逆序数i- 1~val的个数 然后插入*/
    }
    cout<<ans<<endl;
}

改段查点：

修改：将区间 $[l,r] $ 的每个数加val，查询：求点k处的值

假设原数组为$Num[]$,我们用$d[]$ 记录相邻元素的差值，比如$d[i]=num[i]-num[i-1]$,且我们让 $d[1]=num[1]$ ,那么$num[i]=d[1]+d[2].....+d[i]$

至于修改操作，我们只需将$d[l]$加上$val$，$d[r+1]$减去$val$即可，

我们维护d数组即可。

洛谷模板：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3368

代码:

// luogu-judger-enable-o2
#include
#define mset(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=5e5+100;
ll  qwe[maxn],n,q;
int lowbit(ll val){
    return  val&(-val);
}
int getsum(ll k)
{
    ll ans=0;
    while(k>0)
    {
        ans+=qwe[k];
        k-=lowbit(k);
    }
    return ans;
}
void modify(ll k,ll val)
{
    while(k<=n)
    {
        qwe[k]+=val;
        k+=lowbit(k);
    }
}
ll va[maxn];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin>>n>>q;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        cin>>va[i];
    }
    modify(1,va[1]);
    for(int i=2;i<=n;++i)
        modify(i,va[i]-va[i-1]);
    while(q--)
    {
        ll fa,x,y,z;
        cin>>fa;
        if(fa==1)
        {
            cin>>x>>y>>z;
            modify(y+1,-z);
            modify(x,z);
        }
        else{
            cin>>x;
            cout<<getsum(x)<<endl;
        }
    }

    return 0;
}