codevs1039-2001提高组-数的划分-题解

题目描述
将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种划分方案不能相同(不考虑顺序)。
例如：n=7，k=3，下面三种划分方案被认为是相同的。
1 1 5
1 5 1
5 1 1
问有多少种不同的分法。


输入描述
输入：n，k (6

输出描述
输出：一个整数，即不同的分法。


样例输入
 7 3
样例输出
4


数据范围及提示

 四种分法为：1，1，5;1，2，4;1，3，3;2，2，3

分析与解：

看到这道题，应该很快能想到用动态规划来解。想到将dp[i][j]定义为将i分解为j份的方案总数，但是，如何写出状态转移方程呢？我们可以反过来想，假如所有的方案都已经被列出来了，也就是i=a1+a2+a3+...+aj,而且每一个分解出来的数都是大于零的，于是从每一个数里减掉一个1，也就是i-j=(a1-1)+(a2-1)+...+(aj-1),这样，总有一些加数是为0的，那么也就相当于把i-j分解了为了m份，m<=j。这样，把每一个m对应的方案总数加起来，也就刚好等于i分解成j份的方案总数。其实这样已经解决了重复方案的问题，因为，只要m不同，肯定方案不同，这样只要保证最初的子问题都满足没有重复方案的性质，后面推出的结果也不会包含重复的方案。当然，要设置好边界条件。这样就可以写出状态转移方程了。dp[i][j]=dp[i-j][1]+dp[i-j][2]+...+dp[i-j][j]，再加上一个合适的初始值,dp[0][1]=1，基本上就正确了。但是，显然这不够好，很容易可以发现：dp[i-1][j-1]=dp[(i-1)-(j-1)][1]+dp[(i-1)-(j-1)][2]+...+dp[(i-1)-(j-1)][j-1]，正好就是dp[i][j]=dp[i-j][1]+dp[i-j][2]+...+dp[i-j][j-1]，于是就看到dp[i][j]就比dp[i-1][j-1]多了尾巴上的dp[i-j][j]，所以，改进后：dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j]，这样，基本上就可以放心了，再把初始的条件设好，dp[0][0]=1,当然i必须大于等于j才有意义，所以，剩余的那部分没有必要计算了。代码如下。

#include 
int n,k;
int dp[201][7];
void solve() {
	dp[0][0]=1;
	for (int j=1;j<=k;j++) {//dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j];
		for (int i=1;i<=n;i++) {
			if (i>=j) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j];
		}
	}
	printf("%d\n",dp[n][k]);
}
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&k);
	solve();
	return 0;
}