编辑距离的一些理解
一、编辑距离存在多种定义：
1、
Jaro–Winkler distance，仅允许交换操作；
2、Hamming distance，仅允许替换操作，并要求两个字符串长度相同；
3、Longest common subsequence distance，仅允许插入和删除操作；
4、Levenshtein distance，又称作编辑距离，允许插入、删除和替换操作，但不允许交换操作，满足三角不等式，可以作为度量标准；
5、Damerau-Levenshtein distance，允许插入、删除、替换和交换相邻字符四种操作,不限定子串被操作的次数；
6、Optimal String Alignment，又称restricted edit distance（受限编辑距离）为
Damerau-Levenshtein distance的受限形式，记限定子串仅能被操作一次，OSA（CA，ABC）为3，记CA->A->AB->ABC，而
Damerau-Levenshtein distance为2，距离为CA->AC->ABC，
Optimal String Alignment不满足三角不等式（OSA（CA，AC）+OSA（AC，ABC）
自然处理中经常使用的为
Levenshtein distance和
Optimal String Alignment，依需要进行选择即可。
Levenshtein distance的动态规划算法：
- 如果i == 0 且 j == 0，edit(i, j) = 0
- 如果i == 0 且 j > 0，edit(i, j) = j
- 如果i > 0 且j == 0，edit(i, j) = i
- 如果0 < i ≤ 1 且 0 < j ≤ 1 ，edit(i, j) == min{ edit(i-1, j) + 1, edit(i, j-1) + 1, edit(i-1, j-1) + f(i, j) }，这里当字符串1的第i个字符不等于字符串2的第j个字符时，f(i, j) = 1；否则，f(i, j) = 0。
Optimal String Alignment的动态规划算法：
- 如果i == 0 且 j == 0，edit(i, j) = 0
- 如果i == 0 且 j > 0，edit(i, j) = j
- 如果i > 0 且j == 0，edit(i, j) = i
- 如果0 < i ≤ 1 且 0 < j ≤ 1 ，edit(i, j) == min{ edit(i-1, j) + 1, edit(i, j-1) + 1, edit(i-1, j-1) + f(i, j) }，这里当字符串1的第i个字符不等于字符串2的第j个字符时，f(i, j) = 1；否则，f(i, j) = 0。
- 如果i > 1且 j > 1时，这个时候可能出现操作（4），由之前的推导，我们只能交换一次，否则就没有意义。这个时候在比较最小值中可能加入edit(i-2, j-2) +1，什么时候加入呢？假设i-2长度的字符串1子串和j-2长度的字符串2子串已经得出最优解，这个时候如果s1[i-1] == s2[j] 并且s1[i] == s2[j-1]，这时就在比较值中加入edit(i-2, j-2) + 1（这个1是交换一次的操作）
二、个人理解：
假设两个字符串A(1..i-1)和B(1..j-1)的编辑距离为a，求在两个字符串中分别加入A[i]和B[j]后的连个字符串的编辑距离。
首先：Edit(A(1..i), B(1..j)) >= Edit(A(1..i-1), B(1..j-1))，这一点是显而易见的；
其次：Edit(A(1..i), B(1..j))最多比Edit(A(1..i-1), B(1..j-1))大一，即Edit(A(1..i), B(1..j)) <= Edit(A(1..i-1)+1；
基于上面两点可以得出这样的结论：
Edit(A(1..i-1), B(1..j-1))+1 >= Edit(A(1..i), B(1..j)) >= Edit(A(1..i-1), B(1..j-1))
在两个字符串中任一个后添加一个字符，得到的编辑距离可能有三种情况：a-1,a和a+1；
下面基于Edit(A(1..i-1), B(1..j-1))推理Edit(A(1..i), B(1..j))
当A[i]=B[j]时，添加这两个字符不会改变字符串的编辑距离；
当A[i]!=B[j]时，可以分为三个情况：
1）、假设添加A[i]使得Edit(A(1..i), B(1..j-1))=a-1；此时加上B[j]，则Edit(A(1..i), B(1..j))只能等于a，因为Edit(A(1..i), B(1..j)) >= Edit(A(1..i-1), B(1..j-1))；
2）、假设添加B[j]使得Edit(A(1..i-1), B(1..j))=a-1；此时加上A[i]，则Edit(A(1..i), B(1..j))也只能等于a，因为Edit(A(1..i), B(1..j)) >= Edit(A(1..i-1), B(1..j-1))；
3）、如果上边两种情况均不出现，则在A(1..i-1)和B(1..j-1)的基础上添加A[i]和B[j]，则Edit(A(1..i), B(1..j)) 只能是 Edit(A(1..i-1), B(1..j-1)) + 1；
综合考虑，Edit(A(1..i), B(1..j)) = min(Edit(A(1..i), B(1..j-1))+1, Edit(A(1..i-1), B(1..j))+1, Edit(A(1..i-1), B(1..j-1))+1)。
参考文献：
1、动态规划求编辑距离，http://qinxuye.me/article/get-edit-distance-by-dynamic-programming/，
2、Damerau–Levenshtein distance，http://en.wikipedia.org/wiki/Damerau–Levenshtein_distance，
3、Levenshtein distance，http://en.wikipedia.org/wiki/Levenshtein_distance，
4、Edit distance，http://en.wikipedia.org/wiki/Levenshtein_distance，