【最小乘积生成树】BZOJ2395[Balkan 2011] Timeismoney

【题目】
原题地址
有 n n 个城市(编号从 0..n−1 0.. n − 1 )， m m 条公路(双向的)，从中选择 n−1 n − 1 条边，使得任意的两个城市能够连通，一条边需要的 c c 的费用和 t t 的时间，定义一个方案的权值 v=(n−1 v = ( n − 1 条边的费用和) ∗ ∗ (n−1 ( n − 1 条边的时间和)，你的任务是求一个方案使得 v v 最小

【题目分析&学习】
假装自己学了一波东西：最小乘积生成树。
以下转自：dalao的BLOG

最小乘积生成树定义

有一张 n n 个点 m m 条边的无向图，每条边有 k k 个权值。
现在要取一个边集M使得其将所有点连通，并使
∏ki=1(∑j∈Mjcost(j,vali)) ∏ i = 1 k ( ∑ j j ∈ M c o s t ( j , v a l i ) ) 最小
即个边集的每一种边权的总和的乘积最小。

比如：
k=1 k = 1 时，就是裸最小生成树。
k=2 k = 2 时，就是要使 [边集的权值1的和]*[边集的权值2的和] 最小。

最小乘积生成树的一种求法：

广义上的说法：
首先我们可以把每种生成树想成一个 k k 维的点，第 i i 维的坐标即那一维上权值的和。
然后我们可以先求出每一维坐标最小的一棵生成树（裸上最小生成树就好），
然后得到一个 k−1 k − 1 维的面，然后我们来求一下离这个面最远的点，然后分治下去……据说期望很快……

二维最小乘积生成树的求法：

给每一棵生成树都定义两个权值 X、Y X 、 Y ，其中 X X 为其包含的所有边的权值 x x 的和， Y Y 为其包含的所有边的权值 y y 的和，那么我们可以把每一种生成树看成一个坐标。
我们先求出坐标 x x 最小的一棵生成树，再求出坐标 y y 最小的一棵生成树。
然后我们可以考虑，最优的点一定在下凸包上【证明一】，然后我们要进行一个不断向左下拓展点的过程：对于两个点 A、B A 、 B 形成的直线，我们可以找出在这条直线左下的最远的点 C C ，然后对 AC、CB A C 、 C B 递归做同样的过程，直到找不到一个在左下的点 C C 为止。

然后如何找一个最远的点C呢？——由于C离AB最远，所以S△ABC面积最大。就是让 AB→×AC→ A B → × A C → 最小

AB→×AC→=(B.x−A.x)∗(C.y−A.y)−(B.y−A.y)∗(C.x−A.x)=C.x∗(A.y−B.y)+C.y∗(B.x−A.x)+(...)(3)(4) (3) A B → × A C → = ( B . x − A . x ) ∗ ( C . y − A . y ) − ( B . y − A . y ) ∗ ( C . x − A . x ) (4) = C . x ∗ ( A . y − B . y ) + C . y ∗ ( B . x − A . x ) + ( . . . )

(...) ( . . . ) 是只与 A,B A , B 有关的量，可以看做常数。
因此我们将所有边权设为 a[k].x∗(A.y−B.y)+a[k].y∗(B.x−A.x) a [ k ] . x ∗ ( A . y − B . y ) + a [ k ] . y ∗ ( B . x − A . x ) ，然后求最小生成树就行了。
边界 AB→×AC→≥0 A B → × A C → ≥ 0

【证明一】
每个点 (xi,yi) ( x i , y i ) 都对应一条函数曲线 ki=xi?yi k i = x i ? y i ，而任意两不同 ki k i ，它们的函数曲线是不交的（有交的话则存在一点 (xj,yj) ( x j , y j ) 使得 ki=xj?yj=kj k i = x j ? y j = k j 而 ki!=kj k i ! = k j 成立，显然这是悖论），那么显然最优点肯定不会在凸包内，否则必有凸包上一点比它优。
那么会不会求出这个某种意义上的凸包后，最优点在凸包外，却没被找到呢？
不会。
若有这种情况，此点必然在凸包上某边的左下方，然后一定会被找出来。。

【参考代码】

#include
using namespace std;

typedef long long LL;
const int INF=1e9;
const int N=205;
const int M=1e5+5;
int n,m;
int fa[N];

struct Tway
{
    int x,y,c,t;
    LL v;
};
Tway e[M];

struct Tpoint
{
    LL x,y;
};
Tpoint ans,A,B;

bool cmp(Tway X,Tway Y)
{
    return X.vint findf(int x)
{
    return fa[x]==x?x:fa[x]=findf(fa[x]);
}

Tpoint Better(Tpoint X,Tpoint Y)
{
    if((X.x*X.y==Y.x*Y.y && X.x>Y.x) || X.x*X.y>Y.x*Y.y)
        return Y;
    return X;
}

Tpoint Kruscal()
{
    Tpoint O=(Tpoint){0,0};
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;++i)   
        fa[i]=i;
    int now=1;
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int fx=findf(e[i].x),fy=findf(e[i].y);
        if(fx==fy)
            continue;
        fa[fx]=fy;
        O.x+=e[i].c;O.y+=e[i].t;++now;
        if(now==n)
            break;
    }
    ans=Better(ans,O);
    return O;
}

LL cross(Tpoint a,Tpoint b,Tpoint c)
{
    return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.y-a.y)*(c.x-a.x);
}

void solve(Tpoint X,Tpoint Y)
{
    LL tx=Y.x-X.x,ty=X.y-Y.y;
    for(int i=1;i<=m;++i)
        e[i].v=1ll*e[i].c*ty+1ll*e[i].t*tx;
    Tpoint O=Kruscal();
    if(cross(O,X,Y)>=0)
        return;
    solve(X,O);
    solve(O,Y);
}

int main()
{
//  freopen("BZOJ2395.in","r",stdin);
//  freopen("BZOJ2395.out","w",stdout);

    ans.x=ans.y=INF;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].c,&e[i].t);
        ++e[i].x;++e[i].y;e[i].v=e[i].c;
    }
    A=Kruscal();
    for(int i=1;i<=m;++i)
        e[i].v=e[i].t;
    B=Kruscal();
    solve(A,B);
    printf("%lld %lld\n",ans.x,ans.y);

    return 0;
}

不知道高维的情况应该怎样写呢？貌似还没有这种题出来呢。