算法概论习题8.8——证明精确的4SAT是NP-完全问题

题目：

在精确的4SAT（EXACT 4SAT）问题中，输入为一组字句，每个字句都是恰好4个文字的析取，且每个变量最多在每个字句中出现一次。目标是求它的满足赋值——如果该赋值存在。证明精确的4SAT是NP完全问题。

证明如下：

由于3SAT问题是NP-完全问题，若能将3SAT问题归约到精确的4SAT问题，则可证明精确的4SAT问题也是NP-完全问题。

以下是将3SAT问题归约到精确的4SAT问题：

给定3SAT的实例I，I=(a1∨a2∨a3)(a4∨a5∨a6)…(ak∨ak+1∨ak+2)；

精确的4SAT问题要求每个变量最多在每个字句中出现一次，因此首先通过压缩字句去重，对于I中的字句i:

（1）若存在几个变量相等，则只保留其中一个；

（2）若存在两个变量互反，则该字句恒为true，可以将其从I中去除；

使得每个变量最多在每个字句中出现一次。

之后在I中的字句中添加变量，使得每个字句恰有4个变量。

（1）字句(ap∨aq∨aw)可以转化为(ap∨aq∨aw∨x)(ap∨aq∨aw∨~x)。若(ap∨aq∨aw)为真，(ap∨aq∨aw∨x)(ap∨aq∨aw∨~x)显然为真；若(ap∨aq∨aw∨x)(ap∨aq∨aw∨~x)为真，由于x和~x必有一个为假，故其对应的‘ap∨aq∨aw’必为真；

（2）字句(ap∨aq)可以转化为(ap∨aq∨x∨y)(ap∨aq∨~x∨y)(ap∨aq∨x∨~y)(ap∨aq∨~x∨~y)。若(ap∨aq)为真，则(ap∨aq∨x∨y)(ap∨aq∨~x∨y)(ap∨aq∨x∨~y)(ap∨aq∨~x∨~y)显然为真；若(ap∨aq∨x∨y)(ap∨aq∨~x∨y)(ap∨aq∨x∨~y)(ap∨aq∨~x∨~y)为真，由于‘x∨y’，‘~x∨y’，‘x∨~y’和‘~x∨~y’必有一个为假，故其对应的‘ap∨aq’必为真。

（3）对于字句（ap）同理。

综上，3SAT问题可以归约到精确的4SAT问题，并且归约过程可以在多项式时间内完成，故由3SAT问题是NP-完全问题可以得到精确的4SAT问题也是NP-完全问题。