使用矩阵运算替代 for 循环实现信号的DTFT

1. 问题的引入

  最近的数字信号处理实验中有这样的一道题

对 xa(t)=e−1000|t| 信号进行采样分析，讨论信号的抽样的最低频率，验证奈奎斯特采样定理。要求对信号 xa(t) 分析，确定采样频率，求出采样后的序列 x(n) 的频谱 ，比较不同采样频率情况下（满足和不满足采样定理） FT频谱 x(jΩ) 和 DTFT频谱 x(ejω) 关系。

实验思路如下。首先对信号进行截断，因为计算机只能分析有限长的序列，所以需要截断，截断的依据是当幅值衰减到小于某一阈值（如 e−5 ）时截断；其次对截断后的连续非周期信号进行傅里叶变换（FT），这里通过 MATLAB 的 Fourier 命令可以直接得到；得到原信号的FT之后根据频谱判断截止频率（最高频率）大概在什么位置，从而确定采样信号的频率（根据香农采样定理，采样频率是最高频率的二倍）；最后对采样后的信号进行DTFT。因为在 MATLAB 中没有直接求取 DTFT 的函数，所以需要自己编写。而本文的主要灵感也来自于自己编写DTFT的过程。

  假设我们现在已经得到了经过抽样之后的离散非周期序列 x(n) ，现在要对其进行 DTFT 变换。由于 DTFT 的定义式如下

X(e^{j\omega})=\Sigma_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n}\tag{1}\label{1}

所以如果从定义式下手，需要对上述的 x(n)e−jω 在使得 x(n) 有意义上的区间内求和，也就是说是有限项累加求和的形式，这种形式的计算往往是通过 for 循环实现的。但是无论是在MATLAB 还是在 python 的 Numpy 计算库上，矩阵相乘的计算速度又要高于 for 循环的计算速度，所以将 for 循环改写成矩阵相乘的形式也是一件很应该做的事情，在机器学习中这个常常叫做“向量化”。

2. 使用矩阵运算实现DTFT

  假设 x(n) 是一个5 点的序列，即

[x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)]

根据公式 (1) 可知， x(n) 的 DTFT 为

X(ejω)=x(0)e−jω0+x(1)e−jω1+x(2)e−jω2+x(3)e−jω3+x(4)e−jω4

上式虽然是 5 项相加，但是实际上一个关于 ω 的函数。这 5 项求和的过程可以使用 for 进行求和得到，当然也可以通过矩阵相乘的形式获得

X(ejω)=[x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)]∗⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢e−jω0e−jω1e−jω2e−jω3e−jω4⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

通过上式的矩阵相乘就可以替代了一个 for 循环。上面的5点序列是一个行信号，在很多时候我们处理的是咧信号，如

[x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)]T

因此

X(ejω)=[e−jω×0e−jω×1e−jω×2e−jω×3e−jω×4]∗⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

上述的过程是显而易见的，因为 (AB)T=BTAT

3. 利用MATLAB绘制DTFT的幅频特性曲线

  很明显通过 DTFT 得到的表达式是一个关于 ω 以 2π 为周期的周期连续函数， ω 的取值范围为 [−∞,+∞] ，因此在利用 MATLAB 在绘制DTFT的幅频特性曲线时，可以首先去一个或两个周期进行绘图（如取2个周期的话，应该绘制[ −2π,2π ]区间内的图像即可）。但实际上 MATLAB 无法直接绘制出连续函数的图像，是通过求取一系列的函数值，在把这些值连接起来得到的函数曲线。所以我们要绘制出 X(ejω) 的图像，还需要求取 X(ejω) 若干个点的值。理论上当然是取的点数越多绘制的图像越接近于真实图像，但是为了书写方便，在这里我们以 5 点为例进行说明。

  假设我们求取一个周期上的 5 个点 ω0，ω1,ω2,ω3,ω4 。则最后 MATLAB 计算得到的如下

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢x(0)e−jω0×0+x(1)e−jω0×1+x(2)e−jω0×2+x(3)e−jω0×3+x(4)e−jω04x(0)e−jω1×0+x(1)e−jω1×1+x(2)e−jω1×2+x(3)e−jω1×3+x(4)e−jω14x(0)e−jω2×0+x(1)e−jω2×1+x(2)e−jω2×2+x(3)e−jω2×3+x(4)e−jω24x(0)e−jω3×0+x(1)e−jω3×1+x(2)e−jω3×2+x(3)e−jω3×3+x(4)e−jω34x(0)e−jω4×0+x(1)e−jω4×1+x(2)e−jω4×2+x(3)e−jω4×3+x(4)e−jω44⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥T

注意上面是矩阵的转置，所以实际上是一个 1×5 的矩阵，它的每一列都包含 [x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)] ，上述矩阵等价于如下形式。

[x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)]×exp（−j⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢01234⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥[ω0ω1ω2ω3ω4]）

这里有三点需要注意的地方，首先上面的 ω 我们取了5个，实际上是在所讨论的周期内等间距取的5个 ω 的值；其次这里取的 ω 的数量与原信号序列长度相同只是一个巧合，实际上 ω 的数量是任意的，只要能满足取这么多的点可以画出图来就好；最后是当信号是列向量的时候，同样是根据 (AB)T=BTAT 计算。

4. 小结

  在上式的计算过程中总共涉及了3个向量，即 x(n) 、 n 和 ω 。其中 x(n) 是一个 1×n 的向量，求和的点数 n 也是一个 1×n 的向量，参数 ω 一共取 b 个点，所以是一个 1 × b 的向量，最后我们要得到的是一个 1 × b 的向量。有多少个 ω ，就相当于有多少列，所以明显参数 ω 应该放在最后面，而 n 与 ω 都是位于指数项的参数，所以它们应该放在一起相乘，得到的矩阵再 × e−j 得到一个矩阵（该矩阵明显是一个 n × b 的矩阵），将 x(n) 右乘该矩阵便可以得到最终的结果。 这样就将一个双层循环问题转化为三个向量的相乘的问题。