组合数取模（卢卡斯定理）
组合数取模（卢卡斯定理）模板
const int N=1e5+5;
const int mod=10007;
ll fac[N];//用于求取阶乘取模
ll n;
void init() {
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=mod;i++)
fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
}
ll quick_pow(ll a,ll b) {
ll ans=1,base=a;
while(b) {
if(b&1) ans=ans*base%mod;
base=base*base%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
ll C(ll n,ll m) {
if(m>n) return 0;
return fac[n]*quick_pow(fac[m]*fac[n-m]%mod,mod-2)%mod;//此处运用公式C(n, m) mod p = n!/(m!(n - m)!) mod p
}
ll Lucas(ll n,ll m) {
if(m==0) return 1;
else return C(n%mod,m%mod)*Lucas(n/mod,m/mod)%mod;
}推倒过程
/*
*卢卡斯定理：组合数取模运算
*Lucas定理是用来求 C(n,m) mod p，p为素数的值。（注意：p一定是素数）
*C(n, m) = C(n - 1，m) + C(n - 1, m - 1) （ 提示：C(n, m) mod p = n!/(m!(n - m)!) mod p ）
*表达式：C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p。
*递归方程：(C(n%p, m%p)*Lucas(n/p, m/p))%p。（递归出口为m==0，return 1）
*机器人走方格递推公式：h(n)=C(2n,n)/(n+1)
*/题目链接51Nod - 1120
首先看我们可以用传统dp列举前10个数来找下规律
#include
#include
using namespace std;
int n,dp[1005][1005];
int main(){
for(int n=1;n<=10;n++){
memset(dp,0,sizeof(dp));
dp[0][0]=1;
for(int i=1;i 得到的规律数字为：
1
1
2
5
14
42
132
429
1430
4862
This is 卡特兰数，不要问我问么知道的，我也是第一次见，然后百度得到公式如下：
递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
递推关系的另类解为：
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)
哈哈然后一道dp题就转化为了数论题
代码
#include
#define me(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define sd(x) scanf("%d",&x)
#define ss(x) scanf("%s",x)
#define sf(x) scanf("%f",&x)
#define slf(x) scanf("%lf",&x)
#define slld(x) scanf("%lld",&x)
#define pd(x) printf("%d\n",x)
#define plld(x) printf("%lld\n",x)
#define ps(x) printf("%s\n",x)
#define max(x,y) (x>=y?x:y)
#define min(x,y) (x>=1;
}
return ans;
}
ll C(ll n,ll m) {
if(m>n) return 0;
return fac[n]*quick_pow(fac[m]*fac[n-m]%mod,mod-2)%mod;//此处运用公式C(n, m) mod p = n!/(m!(n - m)!) mod p
}
ll Lucas(ll n,ll m) {
if(m==0) return 1;
else return C(n%mod,m%mod)*Lucas(n/mod,m/mod)%mod;
}
int main() {
init();
slld(n);
n-=1;
plld(2*Lucas(2*n,n)*quick_pow(n+1,mod-2)%mod);
return 0;
}