[Matlab]中solve函数与subs函数的使用方法

[Matlab]中solve函数与subs函数的使用方法（解方程组与赋值）

一、solve函数用法：

1.%% 求解单变量方程

%-----例子1------

syms x

eqn=sin(x)==1;

solve(eqn,x)

%-----例子2------

syms x

eqn=sin(x)==1;

[solx,params,conds]=solve(eqn,x,'ReturnConditions',true)

%-----例子3---------------

%如果返回empty，则表明解不存在。如果返回empty+warning，则解可能存在，但是solve找不到

syms x

solve(3x+2,3x+1,x)

2.%% 求解多变量方程

%---例1-----------------

%为了避免求解方程时对符号参数产生混乱，需要指明一个等式中需要求解的变量。

%如果不指明的话，solve函数就会通过symvar选择一个变量（认为该变量是要求解的变量）

clc,clear

syms a b c x

sola=solve(ax^2+bx+c==0,a)   %待求解的变量是a

sol=solve(ax^2+bx+c==0)  %待求解的变量是x

%----例子2--------------

%当求解的变量大于1个时，你声明变量的顺序就是slove返回解的顺序

syms a b

[b,a]=solve(a+b==1,2*a-b==4,b,a)

3.%% solve返回的解带有：参数&条件

%为了返回一个方程的完整的解（即解中含有的参数，及对参数的限制），需要指定ReturnConditions 为：true

%---例子1：关于解的约束----

clc,clear

syms x

S=solve(sin(x)==0 ,x,'ReturnConditions',true);

S

S.x

S.parameters

S.conditions

%为了找到x的数值解，以一个值（利用函数subs）代替k。用函数isAlways检验该值是否满足关于k的限制

%检验k=4是否满足in(k, 'integer')

isAlways(subs(S.conditions,S.parameters,4))

%isAlways返回的是logical 1(true)，这意味着：对于k而言，4是一个合法值。

%利用4代替k，得到x的一个解。利用函数vpa获得该逼近的数值解(vpa设置数值精度：保留几位有效数字、几位小数)

solx=subs(S.x,S.parameters,4)

vpa(solx)

%为0

assume(S.conditions)

solk=solve(S.x>0,S.x<2*pi,S.parameters)

solx=subs(S.x,S.parameters,solk)

4.%% 求解方程组（为变量分配解）————

%当求解方程组的时候，利用多个输出项对应求解的输出变量。

%solve返回一个符号数组（为每个相互独立的变量）

%-----例子1--------------

syms a u v

[sola,solu,solv]=solve(au^2+v^2==0,u-v==1,a^2+6==5a,a,u,v)

solutions=[sola,solu,solv]

%----例子2------------

syms x y z

[solx,soly,solz]=solve(35(y-x)==0,-7x-xz+28y==0,xy-3z==0,x,y,z)

solutions=[solx,soly,solz]

5.%% 返回方程组完整的解（包括：参数和约束条件）

%需要指定ReturnConditions 为：true

%输出则要多附加两项：parameters 、conditions

clc,clear

syms x y

[solx,soly,params,conditions]=solve(sin(x)==cos(2*y) , x^2==y , [x,y],'ReturnConditions',true)

solutions=[solx,soly]

6.%% 返回数值解

%解析解（analytical solution）：用严格的公式表示的解。

%数值解（numerical solution）：无法用严格的公式表示，是采用某种计算方法（有限元、逼近、插值）得到的。

%symbolic solver无法找到精确的用符号表示的解，因此在调用numeric solver之前会事先声明（warning）。因为等式不是多项式，所以想要找到全部可能的解需要很长时间。

%numeric solver不会尽力去找等式的全部numeric solution，它仅仅返回它找到的第一个解。

clc,clear

syms x

solve(sin(x)==x^2-1,x)

%验证上面的等式确实有一个正值解：画出等式的左右两部分的曲线

ezplot(sin(x),-2,2)

hold on

ezplot(x^2-1,-2,2)

hold off

%也可以直接用函数vpasolve求出数值解（需要定义（寻找）解的范围）

vpasolve(sin(x)==x^2-1,x,[0 2 ])

7.%% 求解不等式

%solve能求解满足约束条件的不等式

%需要指定ReturnConditions 为：true。这样可以返回解中涉及到的任何参数和约束条件

% x>0

% y>0

% x^2+y^2+xy<1

clc,clear

syms x y

S=solve(x^2+y^2+x*y<1,x>0,y>0    ,   [x,y], 'ReturnConditions',true);

solx=S.x

soly=S.y

params=S.parameters

conditions=S.conditions

%利用subs和isAlways检验u=7/2和v=1/2是否满足约束条件

isAlways(subs(S.conditions,S.parameters,[7/2,1/2]))

%isAlways返回loogical 1（true）表示这些值满足约束条件。将这两个参数的值带入(函数subs)S.x和S.y中，找到一个x和y的解

solx=subs(S.x,S.parameters,[7/2,1/2])

soly=subs(S.y,S.parameters,[7/2,1/2])

%用函数vpa得到解的数值形式

vpa(solx)

vpa(soly)

8.%% 返回实数解

clc,clear

syms x

solve(x^5==3125,x)

%如果仅仅需要一个实数解，那么就把选项Real设置成true

solve(x^5==3125,x,'Real',true)

9.%% 返回一个解（主值Principal）

%不是返回一个无限多元素的周期解的集合，而是选择其中的最为实际的3个解（实际的、实用性的be most practical）

syms x

solve(sin(x)+cos(2*x)==1,x)

%利用选择PrincipalValue设置为true选择一个解（主值）

solve(sin(x)+cos(2*x)==1,x,'PrincipalValue',true)

10.%% 应用简化规则来缩短结果

%solve默认是不对解采用简化规则的，但是这些解从数学上来讲，不总是正确的。这样以来，solve就不能symbolically求解方程了。

clc,clear

syms x

solve(exp(log(x)log(3x))==4 , x)

%将IgnoreAnalyticConstraints （忽略解析约束）设置为true，这样就会应用简化规则，有可能让solve找到一个结果。

%简化规则的目的就是为了找到一个解。

%但是也不是任何情况下都可以应用简化规则，因此，应用简化规则后，应该对解的正确与否进行核实

S=solve(exp(log(x)log(3x))==4 , x,'IgnoreAnalyticConstraints',true)

11.%% 忽略有关变量的假设

%sym和syms函数可以让你对符号变量进行假设（设置assumptions）。例如，可以声明x为正值

clc,clear

syms x positive

%那么，在上述假设下，求得的解只能是符合假设的解

solve(x^2+5*x-6==0,x)

%如果想要得到方程全部的解，则需要将IgnoreProperties 设置为true

solve(x^2+5*x-6==0,x,'IgnoreProperties ',true)

%为了后续计算，清除之前的假设

syms x clear

12.%% 数值逼近符号解（that  Contain RootOf）

%当求解多项式的时候，solve可能返回包含RootOf的解。为了数值逼近这些解，可以采用vpa函数。

clc,clear

syms x 

s=solve(x^4+x^3+1==0,x)

%因为解中没有参数，所以可以采用vpa进行数值逼近

vpa(s)

13.%% 求解高阶的多项式等式

%当求解高阶的多项式方程的时候，solve可能采用 RootOf表示求得的解

clc,clear

syms x a

solve(x^4+x^3+a==0,x)

%为了得到方程的显式解，尝试调用带有参数MaxDegree的solve函数。该选项规定了多项式最大的degree，solve以此标准返回显式解。

%默认值是3。增大该数值，就可以得到高阶多项式的显式解。

s=solve(x^4+x^3+a==0,x,'MaxDegree',4)

pretty(s)

**二，**Matlab subs函数的用法

​ matlab中subs()是符号计算函数，详细用法可以在Matlab的Command Windows输入：help subs。subs()函数表示将符号表达式中的某些符号变量替换为指定的新的变量，常用调用方式为：

​ R = subs(S, new) 利用new的值代替符号表达式S中的默认符号。

​ R = subs(S) 用由调用函数或Matlab工作空间中获取的值替代了在符号表达式S中的所有当前的变量。

​ R = subs(S, old, new) 利用new的值代替符号表达式中old的值。old为符号变量或是字符串变量名。new是一个符号货数值变量或表达式。也就是说R = subs(S,old,new)在old=new的条件下重新计算了表达式S。这种替换第一次作为Matlab表达式被尝试，如果所有在new中的数值是双精度的，计算是以双精度算术运算进行的。讲new值转化为符号可以验证符号货变量的运算精度。

​ 如果old和new是大小和类型相同的向量或是元包数组，每一个old的元素都将被相应新的元素替换。
​ 如果S和old是标量，new是数组或元包数组，则扩展标量去计算一个数组结果。
​ 如果new是个数值矩阵元包数组，替换讲运行为/智能元素/（i.e., subs(x*y,{x,y},{A,B}) returns A.*B when A and B are numeric）。
​ 如果subs(s,old,new) 没有改变S，则将会试行subs(s,new,old)。这将为前面的版本提供向前的兼容性，消除记忆参数顺序。subs(s,old,new,0)不改变参数，如果S没有改变。

subs函数的用法：

例1：

syms a b x %注意：定义的是符号变量

f = a*sin(x)+b

（符号-符号置换）

f1 = subs(f,sin(x),’log(y)’)

（符号-数字置换）

f2 = subs(f,a,2.89)

（替换所有变量）

f3 = subs(f,{a,b,x},{2,5,sym(‘pi/3’)})

代码实现如下：

>> syms a b x        %注意：定义的是符号变量

f = a*sin(x)+b

f =

b + a*sin(x)

>> f1 = subs(f,sin(x),'log(y)')

f1 =

b + a*log(y)

>> f2 =  subs(f,a,2.89)

f2 =

b + (289*sin(x))/100

>> f3 = subs(f,{a,b,x},{2,5,sym('pi/3')})

f3 =

3^(1/2) + 5

例2：

syms x y z %声明三个符号变量

S = x^2+y^2

1、将变量x替换为数值1：

subs(S,x,1)

2、将变量x替换为变量z：

subs(S,x,z)

3、同时将变量x和y分别替换为1和z：

subs(S,{x,y},{1,z})

4、将单变量替换为数组：

subs(S,x,[1 2;3 4])

代码实现如下：

>> syms x y z %声明三个符号变量

S = x^2+y^2 

S =

x^2 + y^2

>> subs(S,x,1)

ans =

y^2 + 1

>> subs(S,x,z)

ans =

y^2 + z^2

>> subs(S,{x,y},{1,z})

ans =

z^2 + 1

>> subs(S,x,[1 2;3 4])

ans =

[ y^2 + 1,  y^2 + 4]
[ y^2 + 9, y^2 + 16]
>>