矩阵论 两周上课的知识总结（一）

矩阵论的知识包括如图的六个部分，我们首先来总结一下线性代数的知识点和矩阵论的第一节，矩阵化简。

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目录​

行列式（det(A)）：

矩阵：

线性方程组的解法：

相似矩阵（对角化）：

约当（Jordan）型：

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行列式（det(A)）：

表示一个数（行列式中所有不同行不同列的元素乘积的代数和，每一项的符号与列标的逆序数有关）。计算时，通常用任意一行或一列的各元素与其代数余子式的乘积之和来表示。

行列式的运算规则：k乘行列式的某一行，等于用k乘行列式  kdet(A)

                                  对换行列式的两行（列）->行列式的符号改变

                                  k乘行列式的一行再加到另一行上，行列式的值不变

                                  因此，若行列式有两行成比例，则可通过上述的运算将行列式的某一行变为0，行列式的值为0

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矩阵：

一个由个数组成的m行n列的数表，如维、维

每个方阵对应一个行列式。

单位矩阵：对角线为1，其他值为0的方阵

矩阵的逆：可以通过矩阵的行列式来求解

矩阵的秩r（rank(A)）：矩阵的行列式不为0的子式的最高阶数。

矩阵的初等变换：1 互换两行（列）

                               2 常数k乘以某一行（列）

                               3 常数k乘以某一行（列）加到另一行（列）

初等方阵：对单位矩阵进行一次初等变换所得到的方阵。

经过初等变换得到的矩阵与原矩阵等价，初等变换不改变矩阵的秩

对矩阵A进行一次初等行（列）变换，就相当于左（右）乘一个相应的初等方阵

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线性方程组的解法：

对其增广矩阵进行初等变换为阶梯形矩阵。若r=n，则有唯一解，若r

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下面进入我们矩阵论学习的内容啦（其实这部分线性代数也讲过，相当于和研究生课程重叠了一小块吧）：

相似矩阵（对角化）：

特征向量：

其中，特征向量构成的矩阵即为P（可使矩阵A对角化）。

特征多项式：          ps:特征多项式是一个以为未知数的多项式，不是一个数或一个矩阵。

求矩阵的特征值，特征向量，判断是否可对角化的过程：

求出矩阵的特征多项式->其根为特征值->特征值代入特征多项式->求出对应特征向量->若几何重数小于代数重数，即线性无关的特征向量的个数小于n->则不能化为对角形（但可化为Jordan型）

注意：n个线性无关的特征向量不代表矩阵的秩为n，两者并没有直接关系。

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约当（Jordan）型：

由若干约当块组成。任何方阵都可以通过相似变换化为约当型

求矩阵的约当型的步骤（3种方法）：

1 特征多项式矩阵->经过初等变换，化为史密斯标准型->求出不变因子->分解求出初等因子->每个初等因子对应一个约当块->组合成为约当型

ps：所有初等因子的幂次和为n

2 特征多项式矩阵->求出k阶子式的最大公因式->高阶除以低阶，由此得出初等因子->每个初等因子对应一个约当块->组合成为约当型

3步骤同前面求可对角化矩阵特征向量的过程，只是求出的特征向量个数小于n，说明那个特征值对应的空间维数小于其重根数，则这个特征值对应一个（也可能是多个）约当块，其他的特征值对应对角线上的一个值。

ps：举例，一个三阶矩阵的特征值为1，2，其中特征值2为2重根，求特征向量，1对应一个特征向量，2对应一个特征向量，则说明几何重数小于代数重数，不能对角化，因此1对应一个一阶约当块，2对应一个二阶约当块。

应用：

由矩阵可化为约当型及约当型的性质可推出：汉密尔凯莱定理

由这个定理可以进行矩阵多项式的化简。流程如下：

将矩阵多项式化为更简单的形式，运算化简