求最大公约数和最小公倍数的算法

在刷题的过程中，经常会遇到很多关于最小公倍数和最大公约数的问题。

以下是用C语言写的求最大公约数和最小公倍数的算法。

最大公约数。

求最大公约数有三种算法。

1、辗转相除法。

      辗转相除法又称为欧几里德算法。这个方法大家已经都已经在数学上学过了。具体的步骤就是：用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。最后的除数就是这两个数的最大公约数。举个例子就是：比如两个数字，x=453，y=36；

453%36=21；

36%21=15；

21%15=6；

15%6=3；

6%3=0；

%是取余符号，大家应该都知道吧。所以用这个算法可以求出453和36的最大公约数是3；

用C语言实现这个算法就是。

#include  
int main()
{
	int a,b,c;
	scanf("%d%d",&a,&b);
	while(b)
	{
		c=a%b;
		a=b;
		b=c;
	}
	printf("%d\n",a);
	return 0;
}

或者是

#include  
int gcd(int a,int b)
{
	return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
	int a,b,c;
	while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
	{
		c=gcd(a,b);
		printf("%d\n",c);
	}
	return 0;
}

2、更相减损法

       更相减损法是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。又名“更相减损术”，辗转相减法，等值算法，尼考曼彻斯法。

比如说还是453和36；

453-36=417；

417-36=381；

381-363=345

.。。。。。。

9-6=3

6-3=3

3-3=0

然后3就是这两个数的最大公约数。

#include  
int main()
{
	int a,b;
	while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
	{
		while(a!=b)
		{
			if(a>b)
				a=a-b;
			else
				b=b-a;
			
		}
		printf("%d\n",a);
	}
	return 0;
}

 

3、穷举法

从1开始循环，一直循环到两个数中小的那个数。

#include  
int main()
{
	int a,b,c;
	while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
	{
		int max=1;       //记录最大公约数 
		c=a>b?b:a;      //c等于a和b中小的数 
		for(int i=1;i<=c;i++)
		{
			if(a%i==0&&b%i==0)
			{
				if(i>max)
					max=i;
			}
		}
		printf("%d\n",max);
	}
	return 0;
}

最小公倍数

求最小公倍数相对来说就比较简单了。只需要先求出最大公约数。用两个数的乘积除以最大公约数即可。

例如x和y的最小公倍数为x*y/gcd（x，y）。（gcd（x，y）表示为两个数的最大公约数）

#include  
int gcd(int a,int b)
{
	return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
	int a,b,c;
	while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
	{
		c=a*b/gcd(a,b);
		printf("%d\n",c);
	}
	return 0;
}