1、问题描述:
给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi,其价值为vi,背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大?
形式化描述:给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ∋ ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。
2、最优性原理:
设(y1,y2,…,yn)是 (3.4.1)的一个最优解.则(y2,…,yn)是下面相应子问题的一个最优解:
证明:使用反证法。若不然,设(z2,z3,…,zn)是上述子问题的一个最优解,而(y2,y3,…,yn)不是它的最优解。显然有
∑vizi > ∑viyi (i=2,…,n)
且 w1y1+ ∑wizi<= c
因此 v1y1+ ∑vizi (i=2,…,n) > ∑ viyi, (i=1,…,n)
说明(y1,z2, z3,…,zn)是(3.4.1)0-1背包问题的一个更优解,导出(y1,y2,…,yn)不是背包问题的最优解,矛盾。
3、递推关系:
设所给0-1背包问题的子问题
的最优值为m(i,j),即m(i,j)是背包容量为j,可选择物品为i,i+1,…,n时0-1背包问题的最优值。由0-1背包问题的最优子结构性质,可以建立计算m(i,j)的递归式:
注:(3.4.3)式此时背包容量为j,可选择物品为i。此时在对xi作出决策之后,问题处于两种状态之一:
(1)背包剩余容量是j,没产生任何效益;
(2)剩余容量j-wi,效益值增长了vi ;
算法具体代码如下:
算法执行过程对m[][]填表及Traceback回溯过程如图所示:
从m(i,j)的递归式容易看出,算法Knapsack需要O(nc)计算时间; Traceback需O(n)计算时间;算法总体需要O(nc)计算时间。当背包容量c很大时,算法需要的计算时间较多。例如,当c>2^n时,算法需要Ω(n2^n)计算时间。
4、算法的改进:
由m(i,j)的递归式容易证明,在一般情况下,对每一个确定的i(1≤i≤n),函数m(i,j)是关于变量j的阶梯状单调不减函数。跳跃点是这一类函数的描述特征。在一般情况下,函数m(i,j)由其全部跳跃点唯一确定。如图所示。
对每一个确定的i(1≤i≤n),用一个表p[i]存储函数m(i,j)的全部跳跃点。表p[i]可依计算m(i,j)的递归式递归地由表p[i+1]计算,初始时p[n+1]={(0,0)}。
一个例子:n=3,c=6,w={4,3,2},v={5,2,1}。
函数m(i,j)是由函数m(i+1,j)与函数m(i+1,j-wi)+vi作max运算得到的。因此,函数m(i,j)的全部跳跃点包含于函数m(i+1,j)的跳跃点集p[i+1]与函数m(i+1,j-wi)+vi的跳跃点集q[i+1]的并集中。易知,(s,t)∈q[i+1]当且仅当wi<=s<=c且(s-wi,t-vi)∈p[i+1]。因此,容易由p[i+1]确定跳跃点集q[i+1]如下:
q[i+1]=p[i+1]⊕(wi,vi)={(j+wi,m(i,j)+vi)|(j,m(i,j))∈p[i+1]}
另一方面,设(a,b)和(c,d)是p[i+1]∪q[i+1]中的2个跳跃点,则当c>=a且d∪q[i+1]中的其他跳跃点均为p[i]中的跳跃点。
由此可见,在递归地由表p[i+1]计算表p[i]时,可先由p[i+1]计算出q[i+1],然后合并表p[i+1]和表q[i+1],并清除其中的受控跳跃点得到表p[i]。
例:n=5,c=10,w={2,2,6,5,4},v={6,3,5,4,6}。跳跃点的计算过程如下:
初始时p[6]={(0,0)},(w5,v5)=(4,6)。因此,q[6]=p[6]⊕(w5,v5)={(4,6)}。 p[5]={(0,0),(4,6)}。q[5]=p[5]⊕(w4,v4)={(5,4),(9,10)}。从跳跃点集p[5]与q[5]的并集p[5]∪q[5]={(0,0),(4,6),(5,4),(9,10)}中看到跳跃点(5,4)受控于跳跃点(4,6)。将受控跳跃点(5,4)清除后,得到
p[4]={(0,0),(4,6),(9,10)}
q[4]=p[4]⊕(6,5)={(6,5),(10,11)}
p[3]={(0,0),(4,6),(9,10),(10,11)}
q[3]=p[3]⊕(2,3)={(2,3),(6,9)}
p[2]={(0,0),(2,3),(4,6),(6,9),(9,10),(10,11)}
q[2]=p[2]⊕(2,6)={(2,6),(4,9),(6,12),(8,15)}
p[1]={(0,0),(2,6),(4,9),(6,12),(8,15)}
p[1]的最后的那个跳跃点(8,15)给出所求的最优值为m(1,c)=15。
具体代码实现如下:
//对(p[k][0] p[k][1])进行判断
上述算法的主要计算量在于计算跳跃点集p[i](1≤i≤n)。由于q[i+1]=p[i+1]⊕(wi,vi),故计算q[i+1]需要O(|p[i+1]|)计算时间。合并p[i+1]和q[i+1]并清除受控跳跃点也需要O(|p[i+1]|)计算时间。从跳跃点集p[i]的定义可以看出,p[i]中的跳跃点相应于xi,…,xn的0/1赋值。因此,p[i]中跳跃点个数不超过2^(n-i+1)。由此可见,算法计算跳跃点集p[i]所花费的计算时间为从而,改进后算法的计算时间复杂性为O(2^n)。当所给物品的重量wi(1≤i≤n)是整数时,|p[i]|≤c+1,(1≤i≤n)。在这种情况下,改进后算法的计算时间复杂性为O(min{nc,2^n})。
运行结果如图: