最大似然估计详解

1.引入概念

  最大似然估计是建立在最大似然原理的基础之上。最大似然原理的直观理解是：设一个随机试验有若干个可能的结果 A1,A2,...,An ，在一次试验中，结果 Ak 出现，则一般认为实验对 Ak 的出现最有利，即 Ak 出现的概率较大。这里用到了”概率最大的事件最可能出现”的直观想法，然后对 Ak 出现的概率公式求极大值，这样便可解未知参数。下面用一个例子说明最大似然估计的思想方法。

  假设一个服从离散型分布的总体X,不妨设 X∼B(4,p) ，其中参数 p 未知.现抽取容量为3的样本， X1,X2,X3 ,如果出现的样本观测值为1,2,1，此时 p 的取值如何估计比较合理？注： B(n,p) 为二项分布，二项分布指每一次实验只有0和1两个结果，其中 n 表示实验次数， p 表示每次结果为1的概率，概率求解公式为：
     P(x=k)=Ckn∗pk∗(1−p)n−k   (1.1)

  考虑这样一个问题，为什么样本结果是1,2,1，而不是另外一组 x1,x2,x3 呢？设事件 A={X1=1,X2=2,X3=1} ，事件 B={X1=x1,X2=x2,X3=x3} ,应用概率论的思想，大概率事件发生的可能性比小概率事件发生的可能性要大，即A发生的概率较大，套用公式1.1可以得出：
   P(A)=C14p(1−p)3∗C24p2(1−p)2∗C14p(1−p)3=96p4(1−p)8

应该让P(A)的取值应该尽可能大。对P(A)进行求导取极值可知，当p=1/3时，P(A)取到最大值，所有有理由认为p=1/3有利于事件A发生，所有p应该取值为1/3比较合理。

2.给出似然函数定义

  设 X1,X2,...,Xn 为来自总体 X 的简单随机样本， x1,x2,...,xn 为样本观测值.称

L(θ)=∏i=1np(xi,θ)

为参数 θ 的似然函数。其中，当总体 X 为离散型随机变量时， p(xi,θ) 表示X的分布列 P{X=xi}=p(xi,θ) ；当总体 X 为连续性型随机变量时， p(xi,θ) 表示 X 的密度函数 f(x,θ) 在 xi 处的取值 f(xi,θ)=p(xi,θ) 。

  参数 θ 的似然函数 L(θ) 实际上就是样本 X1,X2,...,Xn 恰好取观察值 x1,x2,...,xn(或其领域) 的概率。如果总体 X 为离散型随机变量时，
L(θ)=P{X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn}=P{X1=x1}∗P{X2=x2}∗...∗P{Xn=xn}=

∏i=1np(xi,θ)

如果总体 X 为连续性型随机变量，由于当 Δxi 非常小时,
P{xi−Δxi2<Xi<xi+Δxi2}=P{xi−Δxi2<X<xi+Δxi2}=∫xi+Δxi2xi−Δxi2f(x,θ)dx≈f(xi,θ)∗Δxi

于是

P{x1−Δx12<X1<x1+Δx12,x2−Δx22<X2<x2+Δx22,...,xn−Δxn2<Xn<xn+Δxn2}=

∏i=1nP{xi−Δxi2<Xi<xi+Δxi2}≈∏i=1nf(xi,θ)Δxi=L(θ)∏i=1nΔxi

注意我们求的是样本落在区间 [xi−Δxi,xi+Δxi] 的概率，而不是样本落在点 xi 的概率，现在我们求出了落在区间的概率为

L(θ)∏i=1nΔxi

又该区间的概率应该近视等于 P{X=xi}∗Δxi ,即用点 xi 的发生概率代表区间平均概率密度，所以 L(θ) 代表的是一组点对应的概率的乘积，即样本 X1,X2,...,Xn 落在观测值 x1,x2,...,xn 附近的概率。

3.最大似然估计

  设

L(θ)=∏i=1np(xi,θ)

为参数 θ 的似然函数，若存在一个只与样本观察值 x1,x2,...,xn 有关的实数 θ^(x1,x2,...,xn),使得
     L(θ^)=maxL(θ)
则称 θ^(x1,x2,...,xn) 为参数 θ 的最大似然估计值，称 θ^(X1,X2,...,Xn) 为参数 θ 的最大估计量。 注意 θ^(x1,x2,...,xn) 仅仅是一个实数值，后面带的 (x1,x2,...,xn) 表示这个值的取值与它们有关。
  由上可知，所谓最大似然估计是指通过求似然函数 L(θ) 的最大(或极大)值点来估计参数 θ 的一种方法。 另外，最大似然估计对总体中未知参数的个数没有要求，可以求一个未知参数的最大似然估计，也可以一次求多个未知参数的最大似然估计，这个通过对多个未知参数求偏导来实现，因为多变量极值就是偏导运算。需要注意的是，似然函数 L(θ) 不一定有极大值点，但是未必没有最大值点，所以对于有些问题，求导求极大值可能会失效，这时需要考虑边界点。