图像的DCT算法
一，背景介绍
DCT，即离散余弦变换，常用图像压缩算法，步骤如下
1）分割，首先将图像分割成8x8或16x16的小块；
2）DCT变换，对每个小块进行DCT变换；
3）舍弃高频系数（AC系数），保留低频信息（DC系数）。高频系数一般保存的是图像的边界、纹理信息，低频信息主要是保存的图像中平坦区域信息。
4）图像的低频和高频，高频区域指的是空域图像中突变程度大的区域（比如目标边界区域），通常的纹理丰富区域。
二，图像
二维DCT变换就是将二维图像从空间域转换到频率域。形象的说，就是计算出图像由哪些二维余弦波构成
F=AfAT F = A f A T
A(i,j)=c(i)cos[(j+0.5)πNi] A ( i , j ) = c ( i ) c o s [ ( j + 0.5 ) π N i ]
其中F就是变换得到的系数，f是图像的像素值，A是转换矩阵，其中i为二维波的水平方向频率，j为二维波的垂直方向频率，取值范围都是0-(N-1)，N是图像块的大小，
c(i)=⎧⎩⎨⎪⎪1N−−√,2N−−√,i=0i≠0 c ( i ) = { 1 N , i = 0 2 N , i ≠ 0
1）求出转换矩阵A；
2）利用转换矩阵A，转换到频域，即由图像 f 得到系数矩阵F。
三，Matlab实现图像块DCT变换
clc;clear;
f = (rand(4,4)*100); % 生成4x4块
% 1，根据公式，生成转换矩阵A
for i=0:3
for j=0:3
if i == 0
c = sqrt(1/4);
else
c = sqrt(2/4);
end
A(i+1, j+1) = c * cos( (j + 0.5)* pi * i / 4 ); % 生成转换矩阵
end
end
% 2，利用转换矩阵A，进行转换
dct_my = A*f*A'; % 转换
dct_matlab = dct2(f); % matlab自带函数转换
结果：
f =
89.0903 14.9294 81.4285 19.6595
95.9291 25.7508 24.3525 25.1084
54.7216 84.0717 92.9264 61.6045
13.8624 25.4282 34.9984 47.3289
dct_my =
197.7977 21.3312 5.8547 40.7995
10.7399 48.3374 21.6041 46.3630
-34.4348 -18.4205 0.7236 18.6270
51.2061 -20.9533 -41.4148 8.2377
dct_matlab =
197.7977 21.3312 5.8547 40.7995
10.7399 48.3374 21.6041 46.3630
-34.4348 -18.4205 0.7236 18.6270
51.2061 -20.9533 -41.4148 8.2377
>> 四，DCT反变换
F=AfAT F = A f A T
f=A−1F(AT)−1 f = A − 1 F ( A T ) − 1
A是正交矩阵，所以有 AT=A−1 A T = A − 1 ,所以求得：
f=ATFA f = A T F A
五，Matlab实现DCT反变换
基于前面得到的转换矩阵A，则DCT反转换后面加一行代码即可： f_convert=A′FA f _ c o n v e r t = A ′ F A
clc;clear;
f = (rand(4,4)*100)； % 生成4x4块
for i=0:3
for j=0:3
if i == 0
c = sqrt(1/4);
else
c = sqrt(2/4);
end
A(i+1, j+1) = c * cos( (j + 0.5)* pi * i / 4 );
end
end
dct_my = A*f*A'；
dct_matlab = dct2(f)；
f_convert = A'*dct_my*A；
f =
22.8977 53.8342 10.6653 81.7303
91.3337 99.6135 96.1898 86.8695
15.2378 7.8176 0.4634 8.4436
82.5817 44.2678 77.4910 39.9783
dct_my =
204.8538 1.1802 9.6825 -7.4417
21.7177 -30.4859 8.3810 -50.0097
1.8694 -9.0912 10.7823 -3.4473
-121.8989 -10.6487 16.1003 -22.1974
dct_matlab =
204.8538 1.1802 9.6825 -7.4417
21.7177 -30.4859 8.3810 -50.0097
1.8694 -9.0912 10.7823 -3.4473
-121.8989 -10.6487 16.1003 -22.1974
f_convert =
22.8977 53.8342 10.6653 81.7303
91.3337 99.6135 96.1898 86.8695
15.2378 7.8176 0.4634 8.4436
82.5817 44.2678 77.4910 39.9783
>> 六，对图像进行DCT变换
效果图，分别是原图，所有dct系数小块组成图，反dct变换回来的图：
将图像分成8x8的小块，对每个小块依次进行dct变换，反变换回来时，也是依次处理每个小块。
matlab代码：
clc;clear;
img = rgb2gray(imread('D:\Code\Image\girl.jpg'));
figure, imshow(img);
% 1，使图像行列为 8的倍数
[row,col] = size(img);
row = round(row/8) * 8;
col = round(col/8) * 8;
img = imresize(img, [row, col]);
% 2，对图像块进行dct变换
img_dct = zeros(row, col); % 存放转换后的dct系数
for i=1:8:row-7
for j=1:8:col-7
img_block = img(i:i+7, j:j+7);
dct_block = dct2(img_block); % 也可用刚才实现的(定义成一个函数即可)
% imshow(dct_block); % 显示dct块
img_dct(i:i+7, j:j+7) = dct_block;
end
end
figure, imshow(img_dct); % 显示生成的dct系数
% 3，dct反变换
new_img = zeros(row,col);
for i=1:8:row-7
for j=1:8:col-7
dct_block = img_dct(i:i+7, j:j+7);
img_block = idct2(dct_block); % 也可用刚才实现的(定义成一个函数即可)
new_img(i:i+7, j:j+7) = img_block;
end
end
figure, imshow(mat2gray(new_img)); % 显示反变换回来的图像
放大后的dct系数块组成的图像：
1）发现每个小块的左上角，即一个DC系数，最亮，保存的是原图像低频信息，反应的是空域图像中平坦区域的信息；
2）小块的其他地方，即63个AC系数，保存的是高频信息，反应的是空域图像中的突变区域的信息；
3）对整个图像而言，背景区域是平坦区域，没有纹理信息，所以AC系数很小，而代表亮度信息的DC系数很大；
4）头发区域不仅含有亮度信息，纹理信息也丰富，所以AC系数值很大。
七，不分块，直接对整个图像DCT变换
clc;clear;
img = rgb2gray(imread('D:\Code\Image\girl.jpg'));
figure, imshow(img);
% 1，对整个图像dct变换
dct_img = dct2(img);
figure, imshow(log(abs(dct_img)), colormap(gray(5)));
colorbar;
% 2，量化, 使得矩阵中小于0.1的值置为0，变得稀疏
dct_img(abs(dct_img)<0.1)=0;
% 3，反变换回来
new_img = idct2(dct_img);
new_img = mat2gray(new_img);
figure, imshow(new_img); 效果图，分别是原图、整个图像变换后系数图、反变换得到的图：
