几种离散随机变量

离散随机变量通常使用分布列而不是分布函数表示，虽然两者可以相互转化。转化时需要注意分布函数是右连续的， FX(x) 在分布列取值点处有跳跃间断点，因此有 P(X<x0)=limx→x−0FX(x) ， P(X≤x0)=FX(x0) 。

两点分布

随机变量 X 的概率分布为

P(X=a)=p ， P(X=b)=1−p ， 0<p<1
称 X 服从参数 p 的两点分布。
当特殊情况 a=1 ， b=0 时，称为0-1分布（又叫伯努利分布）。
两点分布表示了任何一个只有两种结果的试验（一次伯努利试验）。

二项分布

设随机变量 X 的取值为 0,1,2,...,n ，且 P(X=k)=Cknpkqn−k ， p+q=1 ， 0<p<1 。
称 X 服从参数为 (n,p) 的二项分布。记作 X∼B(n,p)
二项分布通常与有放回抽样（多次伯努利试验）联系起来。

泊松分布

随机变量 X 的取值为非负整数，且 P(X=k)=λkk!e−λ,k=0,1,2,... ，称之服从参数为 λ 的泊松分布， λ>0 。
泊松分布通常描绘大量试验（稠密事件）中稀有事件出现的频数 X 的概率分布。
对于泊松分布有泊松定理：对于随机变量 Xn∼B(n,pn) ，当 n 非常大， pn 非常小， npn→λ ，有 limn→∞P(Xn=k)=λkk!e−λ 。
利用泊松定理可知，对于 n 非常大， p 非常小的二项分布，可以近似利用泊松分布计算。

超几何分布

N 个产品， M 个次品， N−M 个正品，从中取 n 个，则含有的次品数 X 的分布列：
P(X=k)=CkmCn−kN−MCnN，k=0,1,2,...,l，l=min(M,n) 。
这样的概率分布称为超几何分布。对应无放回抽样问题。对于 N→∞,N≫n 的情况，可以近似认为有无放回无影响，此时可以用二项分布近似计算超几何分布。

几何分布

一个伯努利试验序列，每次试验 A 出现的概率为 p ，则试验进行到 A 首次出现的试验次数用随机变量 X 表示，则 X 服从
P(X=k)=qk−1p ，其中 q=1−p
几何分布具有无记忆性，即
X∼G(p) ，对于任意的 m,n 有 P(X=n+m|X>n)=P(X=m) 。
也就是说，试验了 n 次未成功，继续试验 m 次成功的概率，与直接进行 m 次试验成功的概率是一样的。

负二项分布

对于伯努利试验序列，每次成功的概率 p ，试验累计进行到 r 次成功为止，令随机变量 X 表示所需的试验次数。
P(X=n)=Cr−1n−1pr(1−p)n−r，n=r+1,r+2,...
对于求法可以理解为，前 n−1 次有 r−1 次成功，且第 r 次试验成功。两个事件相互独立，相乘。
例如每次试验成功的概率为 p ，进行重复试验直到第10次试验才取得4次成功的概率，为 C39p4(1−p)6 。
几何分布是特殊的负二项分布。