自顶向下 与自底向上解决01 背包问题

01背包问题具体例子：假设现有容量10kg的背包，另外有3个物品，分别为a1，a2，a3。物品a1重量为3kg，价值为4；物品a2重量为4kg，价值为5；物品a3重量为5kg，价值为6。将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大？


　　这个问题有两种解法，动态规划和贪婪算法。本文仅涉及动态规划。


　　先不套用动态规划的具体定义，试着想，碰见这种题目，怎么解决?


　　首先想到的，一般是穷举法，一个一个地试，对于数目小的例子适用，如果容量增大，物品增多，这种方法就无用武之地了。


　　其次，可以先把价值最大的物体放入，这已经是贪婪算法的雏形了。如果不添加某些特定条件，结果未必可行。


　　最后，就是动态规划的思路了。先将原始问题一般化，欲求背包能够获得的总价值，即欲求前i个物体放入容量为m（kg）背包的最大价值c[i][m]——使用一个数组来存储最大价值，当m取10，i取3时，即原始问题了。而前i个物体放入容量为m（kg）的背包，又可以转化成前(i-1)个物体放入背包的问题。下面使用数学表达式描述它们两者之间的具体关系。


　　表达式中各个符号的具体含义。


　　w[i] :  第i个物体的重量；


　　p[i] : 第i个物体的价值；


　　c[i][m] ： 前i个物体放入容量为m的背包的最大价值；


　　c[i-1][m] ： 前i-1个物体放入容量为m的背包的最大价值；


　　c[i-1][m-w[i]] ： 前i-1个物体放入容量为m-w[i]的背包的最大价值；


　　由此可得：


　　　　　　c[i][m]=max{c[i-1][m-w[i]]+pi , c[i-1][m]}（下图将给出更具体的解释）






 


 


　　　　根据上式，对物体个数及背包重量进行递推，列出一个表格（见下表），表格来自（http://blog.csdn.net/fg2006/article/details/6766384?reload） ，当逐步推出表中每个值的大小，那个最大价值就求出来了。推导过程中，注意一点，最好逐行而非逐列开始推导，先从编号为1的那一行，推出所有c[1][m]的值，再推编号为2的那行c[2][m]的大小。这样便于理解。






　　　　

　　　　思路厘清后，开始编程序，C语言代码如下所示。

#include 
int c[10][100]={0};

void knap(int m,int n){

    int i,j,w[10],p[10];
    for(i=1;ic[i-1][j])
            c[i][j]=c[i-1][j-w[i]]+p[i];
        else
            c[i][j]=c[i-1][j];
    }
    
}            


int main(){
    int m,n;int i,j;
    printf("input the max capacity and the number of the goods:\n");
    scanf("%d,%d",&m,&n);
    printf("Input each one(weight and value):\n");
    knap(m,n);
    printf("\n");
   for(i=0;i<=n;i++)
        for(j=0;j<=m;j++)
       {
     printf("%4d",c[i][j]);
    if(m==j) printf("\n");
    }
}
代码中，红色字体部分是自己写的，其余的参照了这篇博客http://blog.sina.com.cn/s/blog_6dcd26b301013810.html

自顶向下

#include   
#include   
#include   
#include "iostream"  
  
using namespace std;  
  
const int N = 4;  
const int W = 5;  
int weight[N] = {2, 1, 3, 2};  
int value[N] = {3, 2, 4, 2};  
int record[N][W];  
void init()  
{  
    for(int i = 0; i < N; i ++)  
    {  
        for(int j = 0; j < W; j ++)   
        {  
            record[i][j] = -1;  
        }  
    }  
}  
  
int solve(int i, int residue)   
{  
    if(-1 != record[i][residue])  
        return record[i][residue];  
    int result = 0;  
    if(i >= N)  
        return result;  
    if(weight[i] > residue)  
    {  
        record[i + 1][residue] = solve(i+1, residue);  
          
    }  
    else   
    {  
        result = max(solve(i+1, residue), solve(i+1, residue-weight[i]) + value[i]);  
    }  
    return record[i + 1][residue] = result;  
}  
  
int main() {  
    init();  
    int result = solve(0, W);  
    cout << result << endl;  
    return 0;  
}