数学优化入门：凸优化

做科研时，曾花了段时间学习凸优化，后来发现ML中其应用也非常普遍，想来今后可能还会接触，干脆做个系统的总结，方便以后查询。

博文内容主要参考Boyd（Stanford）的Convex Optimization，配套的slides，以及部分网络材料，感兴趣的朋友可以一起学习探讨。

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1、前言

凸优化，是数学最优化的一个子领域，研究定义于凸集中的凸函数最小化的问题。虽然条件苛刻，但应用广泛，具有重要价值，主要体现在：

• 凸优化本身具有很好的性质
  一来，凸问题的局部最优解就是全局最优解。二来，凸优化理论中的Lagrange对偶，为凸优化算法的最优性与有效性提供了保证。近些年来关于凸问题的研究非常透彻，以至于只要把某一问题抽象为凸问题，就可以近似认为这个问题已经解决了。

• 凸优化具有很强扩展性
  对于非凸问题，通过一定的手段，要么可以等价地化归为凸问题，要么可以用凸问题去近似、逼近得到边界。例如，几何规划、整数规划，虽然本身是非凸的，但是可以借助凸优化手段去解，这就极大地扩张了凸优化的应用范围。
  以深度学习来说，其中关键的反向传播（Back Propagation）算法，本质就是凸优化算法中的梯度下降法，即使问题极度非凸，梯度下降还是有很好的表现，当然深度学习的机制还有待研究。

• 凸优化的应用十分广泛
  如线性回归、范数逼近、插值拟合、参数估计，以及许多的几何问题等。

• 针对其他非凸问题的研究还不充分
  凸优化之重要，从另一个角度说，就是我们没有找到很好的非凸优化的算法，这一部分还有许多学者都在努力。

虽然说凸优化的研究已经比较成熟，但由于还没有行业公认的通行解决方法，所以Boyd也说过“we cannot claim that solving general convex optimization problem is a technology, like solving least-squares or linear programming problems……it is fair to say that interior-point methods are approaching a technology”，即目前已有的凸优化方法还不能称之为技术。但还是说那句话，基本上，如果你把一个现实问题建成凸优化问题模型，你就可以认为这个问题已经被解决了。

多说几句，对于非凸优化中，凸优化同样起到很重要的作用：

• 解决一个非凸优化问题时，可以先试图建立一个简化的多凸优化模型，解出以后作为非凸问题的一个起始点

• 很多非凸优化问题的启发式算法的基础都是基于凸优化

• 可以先建立非凸优化的松弛问题，使用凸优化算法求解，然后作为非凸优化问题的上限或下限

那么，下面将分几章花些篇幅好好讲解下凸优化的主要知识点和常用结论。

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2、凸集

2.1 定义

A set C C is convex, if θx+(1−θ)y∈C θ x + ( 1 − θ ) y ∈ C , for any x,y∈C x , y ∈ C and θ∈R θ ∈ R with 0≤θ≤1 0 ≤ θ ≤ 1 .

简言之，凸集即过集合C内任意两点的线段均在集合C内。

2.2 常用凸集

• Rn R n
• The non-negative orthant: Rn+ R + n
• Norm ball: {x:‖x‖≤1} { x : ‖ x ‖ ≤ 1 }
• Affine subspace: {x∈Rn:Ax=b,A∈Rn×n,b∈Rn×1} { x ∈ R n : A x = b , A ∈ R n × n , b ∈ R n × 1 }
• Polyhedra: {x∈Rn:Ax≺=b} { x ∈ R n : A x ≺= b }
• Intersections of convex sets (Note here that the union of convex sets in general is not convex)
• Postive semidefinite cone: Sn+={X∈Sn|X≻=0} S + n = { X ∈ S n | X ≻= 0 } (Note: 将前述半正定矩阵改为正定阵、负定阵、半负定阵，仍成立)

3、凸函数

3.1 定义

A function f:Rn→R f : R n → R is convex, if its domain D(f) D ( f ) is a convex set, and if f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y) f ( θ x + ( 1 − θ ) y ) ≤ θ f ( x ) + ( 1 − θ ) f ( y ) for all x,y∈D(f) x , y ∈ D ( f ) and θ∈R,0≤θ≤1 θ ∈ R , 0 ≤ θ ≤ 1 .

凸函数的一阶微分条件：

Suppose a function f:Rn→R f : R n → R is differentiable, then f f is convex if and only if: D(f) D ( f ) is a convex set and for all x,y∈D(f) x , y ∈ D ( f ) , f(y)≥f(x)+(∇xf(x))T(y−x) f ( y ) ≥ f ( x ) + ( ∇ x f ( x ) ) T ( y − x ) .

凸函数的二阶微分条件：

Suppose a function f:Rn→R f : R n → R is twice differentiable, then f f is convex if and only if: D(f) D ( f ) is a convex set and its Hessian is postive semidefinite.

3.2 常用凸函数

• 负熵函数： xlogx x l o g x
• 范数函数： ‖x‖p ‖ x ‖ p
• f(x)=max(x1,...,xn) f ( x ) = m a x ( x 1 , . . . , x n )
• f(x)=log(ex1+...+exn) f ( x ) = l o g ( e x 1 + . . . + e x n )
• f(x)=(∏ni=1xi)1/n,D(f)=Rn++ f ( x ) = ( ∏ i = 1 n x i ) 1 / n , D ( f ) = R + + n
• f(X)=log(detX),D(f)=Sn++ f ( X ) = l o g ( det X ) , D ( f ) = S + + n

3.3 保凸运算

• 凸函数的非负加权和
• 凸函数与仿射变换的复合： g(x)=f(Ax+b) g ( x ) = f ( A x + b )
• 逐点最大、最小值： f(x)=max(f1(x),...,fn(x)) f ( x ) = m a x ( f 1 ( x ) , . . . , f n ( x ) ) ， g(x)=infy∈Cf(x,y) g ( x ) = i n f y ∈ C f ( x , y )
• 透视变换： g(x,t)=tf(x/t) g ( x , t ) = t f ( x / t )

4、凸优化问题

4.1 定义

通常将一个优化问题写成以下标准形式：

mins.t.:f(x)gi(x)≤0,i=1,...,mhj(x)=0,j=1,...,t min f ( x ) s . t . : g i ( x ) ≤ 0 , i = 1 , . . . , m h j ( x ) = 0 , j = 1 , . . . , t

当 f(x) f ( x ) 和 gi(x) g i ( x ) 均为凸函数， hj(x) h j ( x ) 均为仿射函数时，上述优化问题称之为凸优化问题。

关于凸优化问题再补充几个特点：

• 一般没有解析解
• 不考虑等式约束时，计算复杂度大致正比于 max{n3,n2m,F} max { n 3 , n 2 m , F } ，其中 F F 是对所有 gi g i 及其一阶、二阶导的计算代价
• 虽然难以识别，但可以通过很多手段进行转化

4.2 优化问题的等价形式

注意以下等价形式不要求为凸问题，等价和相同不是一个概念。

• 变量替换
• 目标函数和约束函数的变换
• 松弛变量（不等式约束转变为等式约束加非负约束）
• 消除等式约束
• 消除线性等式约束
• 引入等式约束
• 优化部分变量
• 上境图问题形式
• 隐式与显式约束

4.3 常用凸优化问题

1）Least-squares（LS）

作为凸优化问题的一个特例，其成熟解法已经可以称之为technology。

对于Least-squares问题： min‖Ax−b‖22 min ‖ A x − b ‖ 2 2 ，其解析解为 x∗=(ATA)−1ATb x ∗ = ( A T A ) − 1 A T b ，对于 A∈ℝk×n A ∈ R k × n ，在不结构化情况下，计算复杂度为 O(n2k) O ( n 2 k ) 。

2）Linear programming（LP）

作为凸优化问题的一个特例，虽然没有解析解，但仍有可靠高效的算法和工具解决，也可以称之为technology。

对于Linear programming问题：

mins.t.:cTx+daTix≤bi,i=1,...,m min c T x + d s . t . : a i T x ≤ b i , i = 1 , . . . , m

当 m≥n m ≥ n 时，计算复杂度为 O(n2m) O ( n 2 m ) 。

但线性规划问题并不像前面的最小二乘问题那么好辨别，通常需要通过一些标准的小技巧将原问题转化为线性规划问题，如包含 l1 l 1 范数或者 l∞ l ∞ 范数，或者分段线性函数的问题等。

3）Quadratic programming（QP）

mins.t.:12xTPx+qTx+rGx≺=hAx=bP∈Sn+ min 1 2 x T P x + q T x + r s . t . : G x ≺= h A x = b P ∈ S + n

4）Quadratically constrained quadratic programming（QCQP）

mins.t.:12xTP0x+qT0x+r012xTPix+qTix+riAx=bPi∈Sn+ min 1 2 x T P 0 x + q 0 T x + r 0 s . t . : 1 2 x T P i x + q i T x + r i A x = b P i ∈ S + n

5）Second-order cone programming（SOCP）

mins.t.:fTx‖Aix+b‖2≤cTix+diFx=g min f T x s . t . : ‖ A i x + b ‖ 2 ≤ c i T x + d i F x = g

6）Semidefinite programming （SDP）

mins.t.:Tr(CX)Tr(AiX)=biX≻=0 min T r ( C X ) s . t . : T r ( A i X ) = b i X ≻= 0

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5、Lagrange Duality

对于有约束的优化问题，通过拉格朗日法可以将其转变为等价的无约束优化问题。在这个过程中，新构造的拉格朗日函数存在好玩的对偶性质，从而衍生出了对偶问题。原问题与对偶问题之间的特殊性质，为我们研究优化问题提供了新的方向和方法。

因此，这部分的思路是：对4.1定义的优化问题，通过拉格朗日法构造拉格朗日函数，从而生成原问题Primal problem和对偶问题Dual problem，然后介绍一些引理，揭示原问题与对偶问题之间的关系。

5.1 Primal problem

首先要求4.1提出的标准优化问题中的 f(x) f ( x ) 、 gi(x) g i ( x ) 和 hj(x) h j ( x ) 均为连续可微函数，构造广义拉格朗日函数

L(x;α,β)=f(x)+∑i=1mαigi(x)+∑j=1tβjhj(x) L ( x ; α , β ) = f ( x ) + ∑ i = 1 m α i g i ( x ) + ∑ j = 1 t β j h j ( x )

其中， α α 和 β β 是拉格朗日乘子，且 αi≥0 α i ≥ 0 ， x x 称为primal变量， α α 和 β β 称为dual变量。
注意， L(x;α,β) L ( x ; α , β ) 是关于 α α 和 β β 的仿射函数。

从而，我们可以构造Primal problem：

minxθP(x)=minx[maxα,β;αi≥0L(x;α,β)] min x ⁡ θ P ( x ) = min x ⁡ [ max α , β ; α i ≥ 0 ⁡ L ( x ; α , β ) ]

显然有：

θP(x)=f(x)+{0,ifxisprimalfeasible+∞,ifxisnotprimalfeasible θ P ( x ) = f ( x ) + { 0 , i f x i s p r i m a l f e a s i b l e + ∞ , i f x i s n o t p r i m a l f e a s i b l e

其中，primal feasible意味着 x x 满足4.1优化问题中的所有约束条件。
注意， θP(x) θ P ( x ) 是关于 x x 的凸函数，因此，主问题求解的核心在内层最大化。

因此，可以看出这里构建的primal problem和4.1的优化问题是等价的，即同解。这样一来，就把原始优化问题表示成了广义拉格朗日函数的极小极大问题，我们定义primal problem的最优值 p∗=minxθP(x)=θP(x∗) p ∗ = min x ⁡ θ P ( x ) = θ P ( x ∗ ) ，称为primal problem的值。

5.2 Dual problem

好了，下面我们来构造神奇的Dual problem：

maxα,β;αi≥0θD(α,β)=maxα,β;αi≥0[minxL(x;α,β)] max α , β ; α i ≥ 0 ⁡ θ D ( α , β ) = max α , β ; α i ≥ 0 ⁡ [ min x ⁡ L ( x ; α , β ) ]

对于上述广义拉格朗日函数的极大极小问题，定义dual problem的最优值 d∗=minα,β;αi≥0θD(α,β)=θD(α∗,β∗) d ∗ = min α , β ; α i ≥ 0 ⁡ θ D ( α , β ) = θ D ( α ∗ , β ∗ ) ，称为primal problem的值。
注意， θD(α,β) θ D ( α , β ) 是关于 α α 和 β β 的凹函数，因此，对偶问题求解的核心在内层最小化。。

5.3 Primal problem与Dual problem的关系

1）Lemma 1

If (α,β) ( α , β ) are dual feasible, then θD(α,β)≤p∗ θ D ( α , β ) ≤ p ∗ .

2）Lemma 2（Weak Duality）

For any pair of primal and dual problems, d∗≤p∗ d ∗ ≤ p ∗ .

注意，此性质always holds，无论优化问题是凸的还是非凸的，通常用来寻找困难问题的下界。

3）Lemma 3 （Strong Duality）

For any pair of primal and dual problems, which satisfy certain conditions called constraint qualifications, then d∗=p∗ d ∗ = p ∗ .

实际上有不少constraint qualifications可以保证强对偶，我们介绍几种常用的constraint qualification：

• f=f∗∗ f = f ∗ ∗ where f f is the perturbation function relating the primal and dual problems and f=f∗∗ f = f ∗ ∗ is the biconjugate of f f

• f f is convex and lower semi-continuous (equivalent to the first point by the Fenchel-Moreau theorem)

• the primal problem is a linear OP

• Slater’s condition for a convex optimization problem

其中，Slater’s condition更常用，we say that the problem satisfies Slater’s condition if it is strictly feasible, that is:

∃x0∈D(f):gi(x0)<0,i=1,...,m;hj(x0)=0,j=1,...,t ∃ x 0 ∈ D ( f ) : g i ( x 0 ) < 0 , i = 1 , . . . , m ; h j ( x 0 ) = 0 , j = 1 , . . . , t

即，if the primal problem is convex, and satisfies the weak Slater’s condition, then strong duality holds.

注意，有些非凸问题也可以满足强对偶。

5.4 Complementary slackness

也称作KKT complementarity，即

If strong duality holds, then α∗igi(x∗)=0 α i ∗ g i ( x ∗ ) = 0 for any i i .

直观来看，就是如果 α∗i>0 α i ∗ > 0 则 gi(x∗)=0 g i ( x ∗ ) = 0 ，如果 gi(x∗)<0 g i ( x ∗ ) < 0 则 α∗i=0 α i ∗ = 0 。

5.5 KKT条件

有以下逻辑：当strong duality存在时； x∗ x ∗ 为primal optiaml和 α∗,β∗ α ∗ , β ∗ 为dual optiaml，则KKT条件成立；当KKT条件成立，则 x∗ x ∗ 为primal optiaml和 α∗,β∗ α ∗ , β ∗ 为dual optiaml。

下面介绍KKT条件：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x∗isprimalfeasibleα∗,β∗isdualfeasiblecomplementaryslackness∇xL(x∗;α∗,β∗)=0 { x ∗ i s p r i m a l f e a s i b l e α ∗ , β ∗ i s d u a l f e a s i b l e c o m p l e m e n t a r y s l a c k n e s s ∇ x L ( x ∗ ; α ∗ , β ∗ ) = 0

5.6 常用案例

1） 如果 f(x),gi(x) f ( x ) , g i ( x ) 是凸函数， hj(x) h j ( x ) 是仿射函数，且存在 x x 使 gi(x)<0 g i ( x ) < 0 对多有 i i 成立，则存在 x∗;α∗,β∗ x ∗ ; α ∗ , β ∗ 使得 x∗ x ∗ 是原始问题的解， α∗,β∗ α ∗ , β ∗ 是对偶问题的解，且 p∗=d∗=L(x∗;α∗,β∗) p ∗ = d ∗ = L ( x ∗ ; α ∗ , β ∗ ) 。

2） 如果 f(x),gi(x) f ( x ) , g i ( x ) 是凸函数， hj(x) h j ( x ) 是仿射函数，且存在 x x 使 gi(x)<0 g i ( x ) < 0 对多有 i i 成立，则“ x∗ x ∗ 是原始问题的解， α∗,β∗ α ∗ , β ∗ 是对偶问题的解”与“ x∗;α∗,β∗ x ∗ ; α ∗ , β ∗ 满足KKT条件”是充要关系。