100天搞定机器学习|Day 30-32 微积分的本质

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作者还把制作视频的用到的代码放到了 github 上,有兴趣的同学可以研究看看

Github: https://github.com/3b1b/manim

我们节选其中一部分内容,领略一下微积分的奥妙

要了解微积分的本质,我们从一个大家都知道的公式说起。这个公式就是求圆的面积公式:A=πr²

 我们将用微积分的方式来推导这个公式,在这个过程中,我们将利用到微分,积分,和两者的互逆。

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首先我们先将一个圆如下图切分成数个圆环。我们获得每个圆环的面积,然后将他们相加不就得到圆的面积了。

所以我们以相同的距离dr将圆切分成若干个同心圆环。

比如圆环的半径是3,dr取0.1 那么我们就将一个圆换分成了30个宽度都是0.1的同心圆环:

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每一个圆环拉直会得到一个新的形状,我们将这个形状近似看做一个矩形

那么这个矩形的面积就是这个圆环的周长乘以dr,圆环的周长为圆环到圆心的距离*2π

那么每个圆环的近似面积面积就为:**2πr*dr**(这里的r是每个圆环到圆心的距离)

你会发现我们的dr 取值越小,那么我们计算出来的圆的面积也就越精确。

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现在如果我们把所有近似矩从小到大一个接一个的排列在一起,我们会有一些全新的发现:

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注意,为了方便观察我们y轴与x轴的比例为5:1

现在我们去的dr是0.1,而我们取的dr值越小,获得的圆环的数量就越多,而这些圆环的近似矩形面积相加起来的面积就靠近原来的圆的面积。

若是无限多个圆环,那么我们获得的近似值越来越靠近真实值。

可是我们取的圆环越多,那么计算量不就越大,无限多的就代表根本没法计算。

但注意,当dr取值无限小的时候,我们将所有圆环的面积加起来与下图三角形的面积是相同的。

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这个三角形的底是3 而高最大圆环的周长,也就是圆的周长:2π*3

如果圆的半径是r,那么它对应的三角形就是一个底为r,高为2π*r的三角形。根据三角形面积公式,我们得到

圆的面积为:πr²

对于数学家来说,你不光要找到答案,你还想要能发展处解决一般问题的工具和技巧

我们回想一下刚刚发生了什么。为什么这样做是可行的。这个从近似值到精确值的过程,通过这个过程,我们可以了解微积分的本质。

最开我们将问题化解为许多微小值的和,来获得一个近似的结果。

首先我们取每间隔dr值,取一个圆环。我们将一个圆换分成若干个小圆环,将其近似看成若干个矩形,我们就能获得近似的圆形面积。

这里的dr 不仅是圆环的宽度,也是每个圆环半径的间距。

我们将这个这个dr越缩小,dr值取的越小,所有矩形相加的面积就越接近于一个三角形的面积。

我们可以得出结论,原来的原型的面积恰好就是这个三角形的面积。

注意此时已经不是近似值,而是完全准确。

通过这种方法,我们重新推导了计算圆的面积的公式。

现在我们看看这种方法在其他的地方如何发挥作用。

例如,已知骑车在每个时间点上的速度,求这段时间骑车走了多远的距离。

我们可以用每个时间点的速度乘以这段微小的时间,然后相加求和,就是这一整段时间走的距离的近似值。

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从图中,我们可以看出,最后我们将一个物理学的问题,变成了几何学的问题。这是不是很有趣?

还有很多的问题都可以这样来计算,我们将一个复杂的问题,拆解为若干近似于a*b然后相加求和的问题(如上面的速度乘以时间),

其中每一个乘法计算中的a都是相同的。(如上一例子中,每一个时间点之间的距离是相同的,也就是vt中的t是相同的)

那么我们就可以将问题转化为若干细长的矩形面积(a*b不就是求矩形面积的公式?)相加取得近似值的问题。

若是我们取的a(在这个汽车例子中的t)取值越小,我们最终获得的值就越精确,而且越发靠近求下图面积的问题的。

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等等,这个形状的面积似乎也不是那么好求得。

似乎我们不会像求圆的面积的时候那么的幸运,得到图形正好是一个三角形。

如上题我们求一个汽车从发动到停止这段时间经过的距离,最后我们得到的这样一个形状,我们要怎么求它的面积呢?

一个二次函数的曲线下的面积要怎么求呢?

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视频告诉我们,当你在数学上遇到一个特别难解的问题是,不要想着正面硬解,这样你往往会撞上南墙。

相反,你应该带着不明确的目的不断把玩这些概念。

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我们将二次函数,x²函数曲线下的面积设置A(x)

那么A(x)与x²之间有什么特殊关系呢?

如果我们将x的值增加一点点,那A(x²)的值回发生怎样的变化呢?

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我们把增加的面积叫做dA,x的增加值叫做dx

我们将这个增加的面积近似看做一个矩形。

我们可以得到:

dA≈x²*dx   由此我们得到: dA/dx≈x²

这里我们dx的值取的越小,那么这个dA的面积就越接近矩形的面积。dA/dx也就越接近x²

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我们将x=3,dx0.001代入这个公式可以得到

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现在我们还是不知道神秘的A(x),但是我们有了这样一个一个公式:dA/dx≈f(x)

dx取值越小,这个公式就越精确。

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作者:guolaomao@cnblogs

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