openGL中投影坐标矩阵的推导

参考：http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html
http://www.songho.ca/opengl/gl_transform.html#projection
http://www.linuxidc.com/Linux/2015-08/122229.htm
http://web.cse.ohio-state.edu/~shen.94/5542/Site/Slides_files/coordinates5542.pdf（ndc到屏幕空间转换）

计算机屏幕是2D表面，openGL渲染的是3D场景，但最终要投影到2D的计算机屏幕上。GL_PROJECTION矩阵就是干这个的。顶点数据经过摄像机空间转换到裁剪空间，除以裁剪坐标的w分量得到ndc坐标。所以我们要记住裁剪坐标转换和ndc坐标转换都集成在了GL_PROJECTION矩阵。下面部分描述怎么样通过左右上下前后这6个边界参数创建投影矩阵。
注意，视锥体裁剪是在裁剪坐标下执行的，在除以w之前。裁剪坐标x、y、z是通过和w比较来测试的。如果任何裁剪坐标（x、y或z）大于w或者小于-w，则这个顶点就会被舍弃掉。当发生裁剪时，openGL会重建多边形的边。
#透视投影
下面为透视投影的视锥体

其中，远裁剪平面距离原点为f， 近裁剪屏幕距离原点n。
设P（x0， y0，z0）投影到近平面上的Pn（x1, y1, z1）。
如下图所示，摄像机坐标是在右手坐标系下的，但NDC用的是左手坐标系。也就是说，摄像机看向的是摄像机空间的-z轴，却是ndc坐标系的+z轴。

由于glFrustum()只接受near和far的正值，所以我们需要在创建GL_PROJECTION矩阵时，将near和far取反。

如图所示，我们分别求x1，y1，z1。沿着x轴方向看横切面如图所示：

投影后，x坐标为x1（在近裁剪平面投影），由相似三角形的性质，有：

n为负，是由于视锥体和投影矩阵坐标系不同，一个是view空间，一个是投影空间。z轴方向不同
这样其实实现了透视投影近大远小的效果，因为z0越大，则x1，y1越小。为了将这两个值转换到[-1,1]区间内，设l和r分别为近裁剪平面左右边框的x左边，即l=-w/2,r=w/2。为了使任何投影到近裁剪空间的点都在区间内，转换后，[l’, r’]属于[0,1]，其中l’,r’分别为l和r转换后的值。因为是线性变化，可另x’=kx+b;

同理，y的表示：

x和y投影后的左边都有共同因子[-1/z₀],也就是说，他们都除以-z_e。这是构建GL_PROJECTION矩阵的关键。view空间坐标乘以GL_PROJECTION矩阵后，裁剪坐标系还是一个齐次坐标。通过除以裁剪坐标系的w转换为NDC.如下图所示：

所以我们可以将裁剪坐标系的w设为-z₀。所以，GL_PROJECTION矩阵的第四行变成（0，0，-1，0），如图：

接下来，我们看z要满足什么要求。为了简化讨论，根据以上结论，我们假设透视变换有下述形式（图片的p就是上面公式的b，bottom）：

则

于是

最后的变换矩阵为：

如果视锥体是对称的，r=-l，t=-b，则

z存在关系：

另外我们再看一个z2和z0关系，你会发现上述函数是有理函数，而z2和z0之间并不是线性关系。在近裁剪平面附近的地方精度较高，远裁剪平面附近的则较低。如果[-n,-f]范围变大，则会引起深度精度问题（z-fighting）。在远裁剪平面附近的z₀值的很小的变化不会影响z₀。所以n和f之间的距离应该尽量小，以减小深度缓存的精度问题。如图所示：

正交矩阵只需要考虑屏幕的最大最小值。上面的“为了将这两个值转换到[-1,1]区间内，设l和r分别为近裁剪平面左右边框的x左边，即l=-w/2,r=w/2。为了使任何投影到近裁剪空间的点都在区间内，转换后，[l’, r’]属于[0,1]，其中l’,r’分别为l和r转换后的值。因为是线性变化，可另x’=kx+b;”
不用考虑z的变化，不需要w。

如果r=-l，t=-b能继续简化。