图解排序算法及实现——归并排序 （Merge Sort）

思路

归并排序（MergeSort），是创建在归并操作上的一种有效的排序算法，效率为O(nlogn) 。1945年由约翰·冯·诺伊曼首次提出。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用，且各层分治递归可以同时进行。

实现

递归法: 自顶向下（Top-Down）

直接在原序列上直接归并排序，每次归并排序分别对左右两边进行归并排序，直至细分到两两分组。

迭代法：自底向上（Bottom-Up）

假设序列共有 n 个元素：
1. 先相邻两两分组进行归并排序
2. 再相邻四四分组进行归并排序
3. 再相邻八八分组进行归并排序
4. 重复扩大分组规模，直到所有元素排序完毕
5. …

复杂度

平均时间复杂度：O(nlogn)
最坏时间复杂度：O(nlogn)
最优时间复杂度：O(nlogn)

最坏空间复杂度：O(n)

图解

来源：

来源：维基百科

来源：维基百科

python实现

递归法: 自顶向下（Top-Down）

def MergeSort(arr):
    '''1.自顶向下递归实现'''

    n = len(arr)
    _mergeSort(arr, 0, n-1)  # 顶部开始： 先对[0,n-1]范围内进行递归排序


def _mergeSort(arr,l,r):

    # 终止迭代的条件
    if l>=r:
        return

    mid = l+(r-l)//2  # (l+r)//2 的改进算法，防止l+r太大溢出
    _mergeSort(arr,l,mid)   # 对左半边arr[l...mid]归并排序
    _mergeSort(arr,mid+1,r) # 对右半边arr[mid+1...r]归并排序
    _merge(arr,l,mid,r)     # 合并之


def _merge(arr,l,mid,r):
    '''将arr[l...mid]和arr[mid+1...r]两部分进行归并'''

    # 额外开辟空间，拷贝arr[l,..,r]到aux数组，然后在原arr上赋值操作
    aux = arr[l:r+1]

    i ,j = l, mid+1 # 从各自左边开始扫描
    # k 指向当前为arr赋值的位置
    for k in range(l,r+1):

        # 边界判断
        if i > mid:
            arr[k] = aux[j-l]
            j +=1
        elif j > r:
            arr[k] = aux[i-l]
            i += 1
        elif aux[i-l] < aux[j-l]:
            arr[k] = aux[i-l]
            i += 1
        else:
            arr[k] = aux[j-l]
            j += 1

递归法: 自顶向下（改进版）

改进1：归并到小规模数据时，直接调用插入排序。（因为对小规模数组,使用插入排序更高效）
改进2：对于arr[mid] <= arr[mid+1]的情况,无需merge

def MergeSort(arr):
    '''2.自顶向下递归实现（改进）'''

    n = len(arr)
    _mergeSort(arr, 0, n-1)  # 顶部开始： 先对[0,n-1]范围内进行递归排序


def _mergeSort(arr,l,r):

    if l>=r:
        return
    # 改进1：对于小规模数组,使用插入排序更高效
#    from SortFunctions import InsertionSort
#    if r-l <= 15:
#        insertionSort(arr, l, r)
#        return

    mid = (r+l)//2  # (l+r)/2 的改进算法，防止l+r太大溢出
    _mergeSort2(arr,l,mid)   # 对左半边arr[l...mid]归并排序
    _mergeSort2(arr,mid+1,r) # 对右半边arr[mid+1...r]归并排序

    # 改进2：对于arr[mid] <= arr[mid+1]的情况,无需merge
    # 对于近乎有序的数组非常有效,但是对于一般情况,有一定的性能损失
    if arr[mid] > arr[mid+1]:
        _merge(arr,l,mid,r) 

_merge()函数上面已定义，直接上面的就好，这里为了节省篇幅，不再定义
对于改进1，经本人实测，在python3的环境下，并没有提升速度，所以我还是注释掉了。

迭代法：自底向上（Bottom-Up）

def MergeSort(arr):
    '''3.自底向上迭代实现'''

    # 逐层迭代，从最底层开始，sz = 1 → n 为待合并数组的长度
    sz = 1
    while sz <= n:
        # 每层，从左往右两两归并，i = 0 → n-1
        i = 0
        while i# 对 arr[i...i+sz-1] 和 arr[i+sz...i+2*sz-1] 进行归并
            _merge(arr, i, i+sz-1, min(i+sz+sz-1,n-1))
            i += sz+sz # 跳到下一对
        sz += sz

_merge()函数上面已定义，直接上面的就好，这里为了节省篇幅，不再定义

与其他排序算法性能比较