背包问题

01背包

有一个背包，最大负重为W；有n块宝石，每件宝石的价值为vi，重量为wi，i为[1,n]。求背包能装下的宝石的最大价值。

典型的动态规划问题。状态表为dp[i][j]，i为[0,n]，表示宝石的下标；j为[0,W]，表示递增的总负重。其状态转移方程为：

dp[i,j] = dp[i-1][j], j < w[i];
dp[i,j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]), j >= w[i].

note: dp被初始化为全0数组。

代码

for (int i = 1; i <= N; i++)
{
    for (int j = 1; j <= W; j++)
    {
        if (j < w[i])
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
    }
}

由于状态转移方程只用到了相邻行的状态，因此可以把状态表缩减成一维dp[j]。此时的状态转移方程为：

dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]), j >= w[i]

note: j从W递减为1

代码

for (int i = 1; i <= N; i++)
{
    for (int j = W; j >= w[i]; j--)
    {
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
    }
}

完全背包

有一个背包，最大负重为W；有n种宝石，每种宝石的价值为vi，重量为wi，i为[1,n]。宝石的数量无限。求背包能装下的宝石的最大价值。

状态表为dp[j]，状态方程也是：

dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]), j >= w[i]

但是j是从1递增至W，和上面的01背包相反。原因在于每种的宝石的数量都是无限的，是在解决当前问题（i种物品），向有i种物品的背包添加第i种物品；而01背包问题是在解决当前问题（i种物品），向有i-1种物品的背包添加第i种物品。

代码

for (int i = 1; i <= N; i++)
{
    for (int j = w[i]; j <= W; j++)
    {
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
    }
}

多维背包

有一个背包，最多能被Wa克a物质和Wb克b物质；有n种宝石，每种宝石的价值为vi，所含ab物质的质量分别为wai克和wbi克。求背包能装下的宝石的最大价值。

状态表为dp[j][k]，状态方程为：

dp[j][k]=max(dp[j][k], dp[[j-wa[i]][[k-wb[i]] + vi)

for (int i = 1; i <= N; i++)
{
    for (int j = Wa; j >= wa[i]; j--)
    {
        for (int k = Wb; k >= wb[i]; k--)
        {
            dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - wa[i]][k - wb[i]] + v[i]);
        }
    }
}

可以扩展至任意维。

for (int i = 1; i <= N; i++)
{
    for (int j = Wj; j >= wj[i]; j--)
    {
        for (int k = Wk; k >= wk[i]; k--)
        {
            for (int l = Wl; l >= wl[i]; l--)
            {
                ...
                    dp[j][k][l]... = max(dp[j][k][l]..., dp[j - wj[i]][k - wk[i]][l - wl[i]]... + v[i]);
            }
        }
    }
}