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之前的文章介绍了用动态规划(DP: Dynamic Programming)求解最优MDP的理论。DP求解最优MPD有两个方法，一是策略迭代(Policy Iteration)，另一个就是值迭代(Value Iteration)。本篇文章就用Python编程实践这个理论。
同样的，为了方便与读者交流，所有的代码都放在了这里：
https://github.com/zht007/tensorflow-practice
1. 策略迭代(Policy Iteration)
策略迭代求解MDP需要分成两步，第一步是策略评估(Policy Evaluation)，即用Bellman等式评估当前策略下的MDP值函数，直到值函数稳定收敛；第二步是根据这个收敛的值函数迭代策略，最终获得最佳MDP。
这里还是以前文的格子世界(Grid World)为例：
T o o o
o x o o
o o o o
o o o T
机器人在4x4的格子世界中活动，目的地是左上角或者右下角。
x为机器人现在所在地位置(状态S)。
机器人的行动A有四个方向 (UP=0, RIGHT=1, DOWN=2, LEFT=3)。
除目的地外，其他地方的奖励(reward)都为"-1"
1.1 策略评估(Policy Evaluation)
首先"/ilb/envs"目录下已经将Grid World环境搭建好了，其中
S 是一个16位的向量，代表状态0到15。env.nS 可以得到所有的状态数(16)。
A是一个4位的向量，代表行动方向0到3。env.nA 可以得到行动数量(4)。
policy 是一个16 x 4 的矩阵，代表每个状态s下，改行动a的概率(action probability)
调用env.P[s] [a]可以得到一个list 包括(prob, next_state, reward, done)，注意这里的prob是状态转移概率.
策略评估的函数如下
def policy_eval(policy, env, discount_factor=1.0, theta=0.00001):
"""
Evaluate a policy given an environment and a full description of the environment's dynamics.
Returns:
Vector of length env.nS representing the value function.
"""
# Start with a random (all 0) value function
V = np.zeros(env.nS)
while True:
delta = 0
# For each state, perform a "full backup"
for s in range(env.nS):
v = 0
# Look at the possible next actions
for a, action_prob in enumerate(policy[s]):
# For each action, look at the possible next states...
for prob, next_state, reward, done in env.P[s][a]:
# Calculate the expected value. Ref: Sutton book eq. 4.6.
v += action_prob * prob * (reward + discount_factor * V[next_state])
# How much our value function changed (across any states)
delta = max(delta, np.abs(v - V[s]))
V[s] = v
# Stop evaluating once our value function change is below a threshold
if delta < theta:
break
return np.array(V)
该部分代码参考github with MIT license
这里涉及到多个循环，最外层"while"循环是迭代循环；第一个"for"循环是遍历所有状态；第二个'for‘循环是遍历该s的policy，得到a 和 action probiliby；最里层的'for'循环最为重要，调用的是Bellman Equation。
v += action_prob * prob * (reward + discount_factor * V[next_state])
我们将随机策略带入函数中，最终获得收敛的值函数。
random_policy = np.ones([env.nS, env.nA]) / env.nA
v = policy_eval(random_policy, env)
--V output--
Grid Value Function:
[[ 0. -13.99993529 -19.99990698 -21.99989761]
[-13.99993529 -17.9999206 -19.99991379 -19.99991477]
[-19.99990698 -19.99991379 -17.99992725 -13.99994569]
[-21.99989761 -19.99991477 -13.99994569 0. ]]
该部分代码参考github with MIT license
1.2 策略改进(Policy Improvement)
根据策略评估得到的V函数，通过Greedy的方法选择下一步值函数最大的行动，用这种方法迭代改进策略，就能得到最佳策略。
这里需要创建帮助函数，one step lookahead，看看在该状态下不同的行动获得的状态函数是多少，同样使用了Bellman Equation
def one_step_lookahead(state, V):
A = np.zeros(env.nA)
for a in range(env.nA):
for prob, next_state, reward, done in env.P[state][a]:
A[a] += prob * (reward + discount_factor * V[next_state])
return A
该部分代码参考github with MIT license
接着，将策略评估得到的值函数带入"one_step_lookahead"得到不同行动下的状态函数。选择"获利"最大的行动，将这个行动的action probablity设为"1"，其他action设为"0" , 这样即完成了策略改进。最后通过迭代可获得最佳策略和最佳值函数。
policy = np.ones([env.nS, env.nA]) / env.nA
while True:
# Evaluate the current policy
V = policy_eval_fn(policy, env, discount_factor)
# Will be set to false if we make any changes to the policy
policy_stable = True
# For each state...
for s in range(env.nS):
# The best action we would take under the currect policy
chosen_a = np.argmax(policy[s])
# Find the best action by one-step lookahead
# Ties are resolved arbitarily
action_values = one_step_lookahead(s, V)
best_a = np.argmax(action_values)
# Greedily update the policy
if chosen_a != best_a:
policy_stable = False
policy[s] = np.eye(env.nA)[best_a]
# If the policy is stable we've found an optimal policy. Return it
if policy_stable:
return policy, V
该部分代码参考github with MIT license
运行policy_improvement 函数得到收敛的最佳策略和最佳值函数。
policy, v = policy_improvement(env)
---output--
Reshaped Grid Policy (0=up, 1=right, 2=down, 3=left):
[[0 3 3 2]
[0 0 0 2]
[0 0 1 2]
[0 1 1 0]]
Reshaped Grid Value Function:
[[ 0. -1. -2. -3.]
[-1. -2. -3. -2.]
[-2. -3. -2. -1.]
[-3. -2. -1. 0.]]
2 值迭代(Value Iteration)
值迭代不必对策略进行评估，直接将"one_step_lookahead"评估出的最大值带入，同时将能得到最大值的的行动作为新的策略，最终可以同时得到最佳值函数和最佳策略。
2.1 值更新
取出"one_step_lookahead"中最大的值更新值函数的value.
V = np.zeros(env.nS)
while True:
# Stopping condition
delta = 0
# Update each state...
for s in range(env.nS):
# Do a one-step lookahead to find the best action
A = one_step_lookahead(s, V)
best_action_value = np.max(A)
# Calculate delta across all states seen so far
delta = max(delta, np.abs(best_action_value - V[s]))
# Update the value function. Ref: Sutton book eq. 4.10.
V[s] = best_action_value
# Check if we can stop
if delta < theta:
break
该部分代码参考github with MIT license
2.2 策略更新
"one_step_lookahead"中最大值对应的行动a，即为新策略的a，action probability 设为"1"，其他action 设为'0'
policy = np.zeros([env.nS, env.nA])
for s in range(env.nS):
# One step lookahead to find the best action for this state
A = one_step_lookahead(s, V)
best_action = np.argmax(A)
# Always take the best action
policy[s, best_action] = 1.0
该部分代码参考github with MIT license
运行value_iteration 函数得到与policy iteration相同的最佳策略和最佳值函数。
policy, v = value_iteration(env)
----output------
Reshaped Grid Policy (0=up, 1=right, 2=down, 3=left):
[[0 3 3 2]
[0 0 0 2]
[0 0 1 2]
[0 1 1 0]]
Reshaped Grid Value Function:
[[ 0. -1. -2. -3.]
[-1. -2. -3. -2.]
[-2. -3. -2. -1.]
[-3. -2. -1. 0.]]
参考资料
[1] Reinforcement Learning: An Introduction (2nd Edition)
[2] David Silver's Reinforcement Learning Course (UCL, 2015)
[3] Github repo: Reinforcement Learning
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