第一章：行列式

n级排列：

由1,2,...,n组成的一个有序数组。中间不能缺数。符号（N）。
逆序：比较大的数排在比较小的数前面。两个数构成一个逆序。
逆序数：逆序的总数。符号：N。
奇排列：逆序数为奇数。偶排列：逆序数为偶数。
标准排列：N(123...n)。
对换：交换两个数。奇偶性改变（相邻对换因为排列的逆序数改变了1，不相邻对换相当于进行了2m+1次相邻对换）。
定理：n级排列中奇函数和偶函数排列各占n!/2。

n阶行列式：

主对角线：左上到右下。
次对角线：右上到左下。
结果：从不同行不同列共取n个元素相乘，取正负后相加。也就是说每项有且只有每行或每行的一个元素。

按行展开：

行标：标准排列。
列标：所有排列。符号由列标排列的奇（-）偶（+）性决定。
下三角形行列式：主对角线上面的元素都为0。
结果为对角线上所有元素的乘积。
上三角形行列式：主对角线下面的元素都为0。
结果为对角线上所有元素的乘积。
对角线形行列式：主对角线上下的元素都为0。
结果为对角线上所有元素的乘积。
如果是次对角线：
结果为对角线上所有元素的乘积。符号由n(n-1)/2奇（-）偶（+）确定。

按列展开：与按行展开类似：

既不按列也不按行展开：各项符号由（列标排列逆序数+行标排列逆序数）的奇偶决定。

性质：

理解下列性质关键：理解计算公式：1.计算式中的每项有只有每行、每列的一个元素。2.计算式中每项符号由（行标排序逆序数+列表排序逆序数）的奇偶性确定。
转置：把所有列变成行。符号：D^T。
性质1：行列式转置值不变D^T = D。对行成立的性质对列也成立。
性质2：行列式两行互换，值变号。（理解：相当于所有项进行了一次对换）。
性质3：行列式两行或两列对应相等，值为0。
性质4：行列式某一行都乘以数K，等于用K乘以D。
推论：行列式某一行有公因子K，K可以提到外面。所有元素都有公因子K，K提n次。
性质5：两行对应成比例，值为0。
推论：某一行全为0，值为0。
性质6：行列式某一行所有元素都是两项和，则该行列式可以表示为将该行拆开的两个行列式相加。注意：不能同时分开多行，只能每次分开一行。
性质7：行列式某一行所有元素乘以数K加到另一行上，值不变。（理解：由性质6可以将得到的行列式分成两项即原行列式+一个两行对应成比较的行列式，由性质5可知值不变。）
得到计算方法：重复使用性质7，凑上三角形。
习惯：从第一列依次消除。第一列处理完，第一行不再参与，因为会影响已经处理好的第一列。

按一行（列）展开：

余子式(去掉i行j列后的行列式）：M_ij。
代数余子式：A_ij=(-1)^(i+j)M_ij
定义：按某行（列）展开，值等于任意一行的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和。
1)降阶。2)选0多的行（列）。
异乘变零定理：某行元素与另一行元素的代数余子式的乘积之和等于零。（理解:总是被去掉的一行可以是任意值。相当于将另一行的值变为去掉行成为一个新的有两行对应相等的行列式。）

拉普拉斯展开：

k阶子式：取k行k列后的交叉部分的行列式。
余子式（去掉多行多列后的行列式）
代数余子式：加符号（-1）^指数为所有去除的行标列标的和。
定理：取定k行，由k行（行确定，列不确定）元素组成的所有k阶子式与对应的代数余子式乘积之和。（去掉k行和k列交叉行列式与剩余行列式的乘积和再取符号）

行列式相乘规则：假设D1和D2是两个n阶行列式，则它们的乘积可以表示为一个n阶行列式。（同阶行列式）
a_11=D1第一行和D2第一列对应元素的乘积和。a_12=D1第一行和第二列对应元素的乘积和...最后得到一个n阶行列式。

：范德蒙德行列式

第二行（列）是x_1,x_2..,x_n，每列（行）的元素是a_21 ^ 0,a_22 ^ 1,...,a_2n ^ n-1：结果：累乘（x_j-x_i）累乘条件（1<=i 证明：归纳假设法（递归）。提示：假设n-1阶的范德蒙德行列式符合结果。用性质7后提公因式（x_2-x_1）再消边（和加边法相反）得到n-1阶的范德蒙德行列式，由此证明n阶范德蒙德行列式符合结果。

克莱姆法则：

n个方程n个未知量。即方程的个数等于未知数的个数。
先转化成等号右边为准确值的形式。
将系数作为元素得到一个行列式。
如果这个行列式D不为0。
D_j:用每个方程的值替换D中第j列得到行列式。
则x_j=D_j/D。
齐次方程组：可以转化成等号右边为0的方程组。
齐次方程至少有一个零解，若D不为0，则方程组的解全为0；齐次方程有非零解的充要条件是D=0。

行列式的计算：

1.凑上三角形行列式。特别是有很多行（列）相同的数比较多的情况。
2.按行（列）展开。适用于某一行（列）0比较多的情况。
3.求M_ij或者A_ij。可以用替换法（总是被去掉的一行或者列可以是任意值）。
4.若某一行（列）的元素相同位置不同。使用性质7累加，再用性质4提公因式，最后凑上三角形。
5.加边法。利用展开余子式值不变去加一行一列。（100000....）
6.三叉形行列式。除了第一行、第一列和对角线其它元素都为0。如果对角线上的元素都不为0，利用性质7将第一列置0凑上三角形。
7.对称行列式。主对角线元素为任意值，以主对角线为轴对称的两个元素相等。即a_ij=a_ji。
8.反对称行列式。主对角线值为0，以主对角线为轴对称的两个元素为相反数，即a_ij=-a_ji。
奇数阶的反对称行列式值为0。因为每行提公因子-1得D=（-1）^{nDT，同时D=DT，所以D=（-1）}nD。