建模之一

什么是数学模型？

近藤次郎（日本）的定义—
数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。

E.A.Bender（美国）的定义—
数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。

姜启源（中国）的定义—
数学模型是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。
所谓数学结构是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等。

一个数学模型应该包括至少两个要素：
①符号与变量的意义说明；
②数学结构（或数学表达式）。

数学模型就是现实世界到数学实现之间的一座桥梁。没有这座桥梁，现实问题跟数学就失去了联系。

数学模型

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数学建模干什么？

建立数学模型简称数学建模或建模。实际上，数学建模可通俗地理解为列方程解应用题。数学模型是现实世界到数学实现之间的一座桥梁，数学建模的过程就是为桥梁增砖添瓦的过程。

这个过程中包含两个阶段：
第一阶段将一个现实问题转化为数学问题（即数学模型），这需要数学基础知识、模型所应用领域的相关业务背景知识和数学建模的方法与技巧。
第二个阶段是对数学模型进行求解，这需要数学基础知识和软件应用及开发的能力。

建模作用

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数学建模的一般过程

1. 形成问题

要建立现实问题的数学模型，第一步是对要解决的问题有一个十分清晰的提法。这需要针对问题查阅相关文献，与专业人士讨论并现场调查研究。在掌握有关数据资料，明确问题背景，确切了解建立数学模型究竟要达到什么目的之后，才能形成一个比较清晰的“问题”。

2. 假设与简化

对问题了解清晰后，弄清哪个因素起主要作用？哪个起次要作用？必须抓住主要因素而忽略次要因素，即对现实问题作一些简化或理想化。简化和理想化必须具体问题具体处理。

3. 建立模型

现实问题的关键因素经量化后就成为数学实体或数学对象，如变量、几何体等。将这些实体或对象之间的内在关系或遵从的规律用数学语言加以刻画，就建立了问题的数学结构，如此就得到了现实问题的数学模型。

4. 模型检验与评价

建立数学模型的主要目的在于解决现实问题，因此必须通过多种途径检验所建立的模型。在整个数学建模乃至整个解决问题的过程中，模型都在不断地受到检验。还有必要检验该模型是一个合理的数学问题。如是否有唯一解或是否有解等。最重要的问题是检验模型是否反映了原来的现实问题。评价模型的根本标准是它能否准确地解决现实问题。但模型是否容易求解也是评价模型优劣的一个重要标准。

5. 改进模型

模型在不断检验中不断修正逐步走向完善，这是建模的重要规律，除了简单的情形外，模型修改几乎是不可避免的。

6. 求解模型

一般对模型进行求解需要数学基础及科学计算两个方面的修养。求解模型可用显式求解，但这往往较困难，一般借助计算机编程知识和数学与工程软件来求解。

数学建模的一般过程

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著名统计学家George E. P. Box的话可以说明这一点：“Essentially，all models are wrong，but some are useful”。