0-1 背包问题

动态规划 递归 Python

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问题描述：在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2……Wn，与之相对应的价值为P1,P2……Pn。求出获得最大价值的方案。
注意：在此问题中，所有的体积值均为整数。01的意思是，每个物品都是一个整体，要么整个都要，要么都不要。

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• 最优子结构

考虑所有物品的子集合，考虑第n个物品都有两种情况: 1. 包括在最优方案中 2. 不在最优方案中因此，能获得的最大价值，即为以下两个值中较大的那个：

1. 在剩下 n-1 个物品中(剩余 W 重量可用)的情况能得到的最大价值 (即排除了 第n个物品)
2. 第n个物品的价值 加上 剩下 剩下的 n-1 个物品(剩余W- wn的重量)能得到的最大价值。(即包含了第n个物品)

如果第n个物品的重量，超过了当前的剩余重量W，那么只能选情况1)， 排除第n个物品。

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由上面的最优子结构，可以得到一个递归解法：

def kanpSack_rec(W,wt,val,n):
    if n==0 or W == 0:
        return 0
    # 如果第n个物品的重量超过背包容量W,这件物品就不能被加进背包
    if (wt[n-1] > W):
        return kanpSack_rec(W,wt,val,n-1)
    # 返回下面两种情况中的最大值:
    # (1) 第n个物品被放进背包中
    # (2) 没被放进背包
    else:
        return max(val[n-1]+kanpSack_rec(W-wt[n-1],wt,val,n-1),kanpSack_rec(W,wt,val,n-1))

这种方法其实就是搜索了所有的情况，但是有很多重复的计算。时间复杂度是指数级的 O(2^n)。

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0-1背包满足动态规划算法的两个基本属性(重叠子问题和最优子结构)。可以通过自下而上的打表，存储中间结果，来避免重复计算。即：欲求前i个物体放入容量为m（kg）背包的最大价值c[i][m]——使用一个数组来存储最大价值。而前i个物体放入容量为m（kg）的背包，又可以转化成前(i-1)个物体放入背包的问题。下面使用数学表达式描述它们两者之间的具体关系，表达式中各个符号的具体含义：

wt[i] :            第i个物体的重量
val[i] :           第i个物体的价值
K[i][w] ：         前i个物体放入容量为w的背包的最大价值
K[i-1][w] ：       前i-1个物体放入容量为w的背包的最大价值
K[i-1][W-wt[i]] ： 前i-1个物体放入容量为M-wt[i]的背包的最大价值；
由此可得：
c[i][m]=max{c[i-1][m-w[i]]+val[i] , c[i-1][m]}

解法如下：

def knapsack_norec(W,wt,val,n):
    K = [[0 for x in range(W+1)] for x in range(n+1)]
    # 从底向上构建K[][]表
    for i in range(n+1):
        for w in range(W+1):
            if i==0 or w==0:
                K[i][w] = 0
            elif wt[i-1] <= w:
                K[i][w] = max(val[i-1]+K[i-1][w-wt[i-1]],K[i-1][w])
            else:
                K[i][w] = K[i-1][w]
    return K[n][W]