最小生成树

1、引言

所谓最小生成树，就是在一个具有N个顶点的带权连通图G中，如果存在某个子图G'，其包含了图G中的所有顶点和一部分边，且不形成回路，并且子图G'的各边权值之和最小，则称G'为图G的最小生成树。 由定义我们可得知最小生成树的三个性质：
•最小生成树不能有回路。
•最小生成树可能是一个，也可能是多个。
•最小生成树边的个数等于顶点的个数减一。 本文将介绍两种最小生成树的算法，分别为克鲁斯卡尔算法(Kruskal Algorithm)和普利姆算法(Prim Algorithm)。

2、 克鲁斯卡尔算法(Kruskal Algorithm)

克鲁斯卡尔算法的核心思想是：在带权连通图中，不断地在边集合中找到最小的边，如果该边满足得到最小生成树的条件，就将其构造，直到最后得到一颗最小生成树。
克鲁斯卡尔算法的执行步骤：
第一步：在带权连通图中，将边的权值排序；
第二步：判断是否需要选择这条边（此时图中的边已按权值从小到大排好序）。判断的依据是边的两个顶点是否已连通，如果连通则继续下一条；如果不连通，那么就选择使其连通。
第三步：循环第二步，直到图中所有的顶点都在同一个连通分量中，即得到最小生成树。
下面我用图示法来演示克鲁斯卡尔算法的工作流程，如下图：

首先，将图中所有的边排序（从小到大），我们将以此结果来选择。排序后各边按权值从小到大依次是：HG < (CI=GF) < (AB=CF) < GI < (CD=HI) < (AH=BC) < DE < BH < DF接下来，我们先选择HG边，将这两个点加入到已找到点的集合。这样图就变成了，如图

继续，这次选择边CI（当有两条边权值相等时，可随意选一条），此时需做判断。判断法则：
当将边CI加入到已找到边的集合中时，是否会形成回路？
1.如果没有形成回路，那么直接将其连通。此时，对于边的集合又要做一次判断：这两个点是否在已找到点的集合中出现过？
①.如果两个点都没有出现过，那么将这两个点都加入已找到点的集合中；
②.如果其中一个点在集合中出现过，那么将另一个没有出现过的点加入到集合中；
③.如果这两个点都出现过，则不用加入到集合中。
2.如果形成回路，不符合要求，直接进行下一次操作。

根据判断法则，不会形成回路，将点C和点I连通，并将点C和点I加入到集合中。如图：

继续，这次选择边GF，根据判断法则，不会形成回路，将点G和点F连通，并将点F加入到集合中。如图：

继续，这次选择边AB，根据判断法则，不会形成回路，将其连通，并将点A和点B加入到集合中。如图：

继续，这次选择边CF，根据判断法则，不会形成回路，将其连通，此时这两个点已经在集合中了，所以不用加入。如图：

继续，这次选择边GI，根据判断法则，会形成回路，如下图，直接进行下一次操作。

继续，这次选择边CD，根据判断法则，不会形成回路，将其连通，并将点D加入到集合中。如图：

继续，这次选择边HI，根据判断法则，会形成回路，直接进行下一次操作。继续，这次选择边AH，根据判断法则，不会形成回路，将其连通，此时这两个点已经在集合中了，所以不用加入。继续，这次选择边BC，根据判断法则，会形成回路，直接进行下一次操作。继续，这次选择边DE，根据判断法则，不会形成回路，将其连通，并将点E加入到集合中。如图：

继续，这次选择边BH，根据法则，会形成回路，进行下一次操作。最后选择边DF，根据法则，会形成回路，不将其连通，也不用加入到集合中。好了，所有的边都遍历完成了，所有的顶点都在同一个连通分量中，我们得到了这颗最小生成树。

3、普利姆算法(Prim Algorithm)

普利姆算法的核心步骤是：在带权连通图中，从图中某一顶点v开始，此时集合U={v}，重复执行下述操作：在所有u∈U,w∈V-U的边(u,w)∈E中找到一条权值最小的边，将(u,w)这条边加入到已找到边的集合，并且将点w加入到集合U中，当U=V时，就找到了这颗最小生成树。 其实，由步骤我们就可以定义查找法则：在所有u∈U,w∈V-U的边(u,w)∈E中找到一条权值最小的边。 ok，知道了普利姆算法的核心步骤，下面我就用图示法来演示一下工作流程，如图：

首先，确定起始顶点。我以顶点A作为起始点。根据查找法则，与点A相邻的点有点B和点H，比较AB与AH，我们选择点B，如下图。并将点B加入到U中。

继续下一步，此时集合U中有{A,B}两个点，再分别以这两点为起始点，根据查找法则，找到边BC（当有多条边权值相等时，可选任意一条），如下图。并将点C加入到U中。

继续，此时集合U中有{A,B,C}三个点，根据查找法则，我们找到了符合要求的边CI，如下图。并将点I加入到U中。

继续，此时集合U中有{A,B,C,I}四个点，根绝查找法则，找到符合要求的边CF，如下图。并将点F加入到集合U中。

继续，依照查找法则我们找到边FG,如下图。并将点G加入到U中。

继续，依照查找法则我们找到边GH,如下图。并将点H加入到U中。

继续，依照查找法则我们找到边CD,如下图。并将点D加入到U中。

继续，依照查找法则我们找到边DE,如下图。并将点E加入到U中。

此时，满足U = V，即找到了这颗最小生成树。
附注：prim算法最小生成树的生成过程中，也有可能构成回路，需做判断。判断的方法和克鲁斯卡尔算法一样。