0-1背包问题算法详解（动态规划）

一 问题描述

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现有n件物品和一个容量为c的背包。第i件物品的重量是重量为w[i]，价值是v[i]。已知对于一件物品必须选择取（用1表示）或者不取（用0表示），且每件物品只能被取一次（这就是“0-1”的含义）。求放置哪些物品进背包，可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

二 算法要点分析

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对于上述问题，如果使用暴力求解的方式来编程，共n件物品，每个物品的状态为选取或者不选，算法复杂度为O(2ⁿ)。随着n的不断增加，算法运行时间将呈指数级增长，所以需要找到复杂度更低的算法来解决上述问题，而动态规划即是最为常见的上述问题的高效解决方法。抛砖引玉，如有错误请不吝赐教。

本着不做无用创新的原则，偷懒选取大多相关博客中所使用的例子。 假设有5件物品，其重量分别是w={2，2，6，5，4}，价值分别是v={6，3，5，4，6}，背包容量为10。在数学问题中这是典型的线性规划问题，我们可以在线性约束范围内求解目标表达式。但是怎么用计算机语言实现呢？

***算法推演关系描述

我们用一个二维数组 m [ ] [ ]来记录在某个背包容量下，某个物品数下所对应的最大包内价值，我们可以想象这样一种递推关系：

当背包容量为 j ，物品数为1时，此时所能装下的最大价值的物品就是装此物品的包内总价值和不装（放不下）此物品的包内总价值的最大值（似乎显而易见，而此算法的核心思想就在于此）, 此最大值即为m[ 1 ][ j ] ；

递推二维表.png

我们将物品数增加1，变为2个物品,第二个物品的重量为 w [2],价值为v [2]，而此时所能装下的最大价值的物品就是装此物品的包内总价值和不装此物品的包内总价值的最大值(不用对比两句话了，核心思想是不变的)，对应的递推公式就是m[ 2 ][ j ] = max( m[ 1 ] [ j - w[ 2 ] ] + v [ 2 ] ,m[ 1 ][ j ] )。max函数中的左项为当物品数为1，背包容量为 j 减去第二个物品重量时所能装下的最大价值，然后再加上第二个物品的价值，即先默认肯定装第二个物品。相似的max函数中的右项为当不装第二件商品，背包容量为j，物品数为1时所能装下的最大价值。

一般化，将上述递推关系1 至 2推广到 i 至 i+1仍然成立，综上得出一般化递推公式为（i = 0表示放入1件商品,依次类推）：

 （1）i=0  
        当 j < w [0] 时，m [0] [j] =0；
        当j >= w[0]时，m[0][j]=v[0]
（2）i>0  
        当j < w [i]，m [i] [j] = m [i-1] [j]；
        当j >= w[i]，m [i] [j] = max{ m[i-1][j-w[i]]+v[i] ，m[i-1][j] }

三 完整函数代码

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import java.util.Scanner;

public class Package01 {

    int n;// 表示物品的数量
    int m;// 表示背包的最大重量
    int[] w; // 表示每一个物品的重量
    int[] v; // 表示每一个物品的价值
    int[][] f; // 用来表示状态转移方程

    public void sovle() {

        // 初始化各初始条件
        init();

        // 首先构造第一行上
        int i = 0, j = 0;
        for (j = 1; j <= m; j++) {
            if (j < w[i]) {
                f[i][j] = 0;
            } else {
                f[i][j] = v[i];
            }
        }

        // 然后对剩下的n-1个物品填充
        for (i = 1; i < n; i++) {
            for (j = 1; j <= m; j++) {
                if (j < w[i]) {
                    f[i][j] = f[i - 1][j];
                } else {
                    f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j - w[i]] + v[i], f[i - 1][j]);
                }
            }
        }

        // 输出打印地推二维表
        for (i = 0; i < n; i++) {
            for (j = 1; j <= m; j++) {
                System.out.print(f[i][j] + "\t");
            }
            System.out.println();
        }
    }

    public void init() {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        n = sc.nextInt();// 初始化物品的数量
        m = sc.nextInt();// 初始化背包的最大重量
        w = new int[n];
        v = new int[n];
        f = new int[n][m + 1]; // 初始化状态转移方程

        // 初始化每个物品重量
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            w[i] = sc.nextInt();
        }
        // 初始化每个物品的价值
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            v[i] = sc.nextInt();
        }
        sc.close();
    }

    public static void main(String[] args) {
        new Package01().sovle();
    }
}

四 复杂度

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显然算法空间复杂度与时间复杂度均为O(n*m)。其中m为背包容量。

五 总结

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用动态规划算法解决0-1背包问题相较于暴力求解法时间复杂度大大降低，理解关键在于状态转移方程的推演过程。