四元数

四元数是比较复杂的，它是一个复数，由实部和虚部组成。

• 复数的定义：

  
  
  

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如果我们将平面上的x轴作为实轴，y轴作为虚轴。这样复数P就定义了一个p点，同时也定义了一个向量。

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如果我们将两个复数相乘。就可以把原来的向量旋转一定的角度得到一个新的向量 复数的乘法就是四元数旋转的本质。

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• 旋转以后：p'（2D）

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3D中的旋转如何用四元数表示呢？

这时我们的四元数就需要三个虚部和一个实部。这就是真正的四元数。

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3D空间中绕任意方向的旋转轴（n），旋转的角度为θ进行旋转就可以用以下四元数表示：

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• 旋转公式：

  
  
  

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四元数的计算法则。

四元数作为复数，就会遵循复数的计算法则：
  负四元数：

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• 单位四元数（代表没有旋转，没有角位移）

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• 四元数的模（同向量差不多）：

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四元数的模的几何意义：将旋转公式代入其中n代表旋转轴用一个单位向量表示即可，单位向量的模就是1，化简之后四元数的模为1，这种模为1的四元数是3D数学中使用最多的（规范化四元数）

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• 复数的共轭（将虚部值取反）

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• 四元数的共轭（也将虚部值取反）：

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• 四元数的逆公式（由于我们3D中旋转都使用的是规范化四元数，所以它的模为1，这样四元数的逆就等于四元数的共轭）：

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• 四元数的共轭几何意义就代表绕着与之前相反的方向进行旋转。

  
  
  

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• 四元数的叉乘，叉乘之后得到一个新的四元数：

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• 编程时使用变换过的叉乘公式。

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• 四元数的叉乘不遵循交换律。

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四元数表示旋转：

3D中的一个点p（x，y，z）以四元数的方式表示出来，并将它使用四元数进行旋转。

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• 四元数绕n轴旋转一个点p，θ度，旋转的公式：

  
  
  

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• 四元数的“差”（实际上为四元数的除法）
  一个四元数a表示一个方位，另外一个四元数b表示另一个方位，从方位a旋转一定的角度d到了方位b。（可以通过四元素的除法获得两个方向旋转的角位移）

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• 四元数的点乘（相当于向量的点乘）：

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• 四元数的对数：

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• 四元数的指数：

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• 四元数的标量乘：

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