椭圆型变分问题理论及应用

张少杰 浙江大学数学科学学院

1.前言

变分不等式是一类重要的非线性问题，一些复杂的物理过程可以用变分不等式来描述. 本文主要基于《Theoretical Numerical Analysis》一书的第11章^[1]. 同时参考[2],[3],[4]整理而成.

对于椭圆型偏微分方程，在数值上往往使用有限元方法计算. 正如冯康院士首次发现有限元方法时称之为基于变分原理的差分方法，研究椭圆型变分不等式(elliptic variational inequalities, EVIs)至关重要. 椭圆型变分不等式根据其物理学背景，往往具有较好的性质. 因此可以研究其解的存在性，唯一性，稳定性等.

本文第2节给出3个经典的椭圆型变分不等式，分析变分不等式、泛函极小化问题及椭圆型偏微分方程边值问题三者的等价性. 第3,4节则给出变分不等式解的存在性与唯一性的相关定理及椭圆型方程的能量不等式. 第5节分析有限元解的收敛性和误差估计，为有限元方法的使用提供理论上的支撑. 在处理第二类变分问题时，对不可微泛函使用正规化方法转化为可操作的问题. 第6节介绍了物理中的弹性问题，根据文献[4]可转变为2.3节中给出的形式.

2.由椭圆型方程到变分不等式

椭圆型偏微分方程和变分不等式存在广泛的联系. 对于实际的物理问题，则又会与能量泛函的极小问题化等价.

2.1简单情况

考虑最经典的椭圆型偏微分方程，即Poisson方程

其中. 给定测试函数空间为，有下面的弱形式

由Lax-Margin引理，可得问题有唯一解. 进一步还可以得到问题等价于极小化问题

其中

这是因为

这说明在处取到泛函的极值. 又有

根据，及，可知在处取到的最小值.

2.2障碍问题

障碍问题描述的是一张弹性膜，在区域上收到力，且膜沿边界是固定的(可令)，障碍函数为.

由力学中的能量最小原理可知，位移是能量最小时膜的位置，能力泛函由等式给定. 故障碍问题可以表述为

其中

同之前，由可得变分不等式

令，即有. 由分部积分公式可得

现将分为非接触区域和接触区域：

即有. 当时，用替代，可得反向的变分不等式成立，因此有.

综上，障碍问题的变分不等式对应的微分边值问题为：
$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &-\Delta u=f,\qquad \mathrm{on}\;\Omega^+\\ &-\Delta u\ge f,\qquad \mathrm{on}\;\Omega^0\\ &u\ge \psi,\qquad\qquad \mathrm{on} \;\Omega,u=0,\forall x\in \partial\Omega \end{aligned} \right. \end{equation} \qquad\qquad(7)$

2.3非齐次Neumann问题

考虑检测函数空间，能量泛函为

其中给定. 注意到的是，该能量泛函不可微.

则泛函极小化问题

与下面的变分不等式问题等价,

证明同样是用到微分，见后面定理3.2.

该问题相应的问题为：
$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & -\Delta u+u=f \qquad \mathrm{in}\;\Omega \\ &\left|\frac{\partial u}{\partial \nu}\right|\le g,\frac{\partial u}{\partial\nu }u+g|u|=0 \qquad \mathrm{on}\;\Gamma. \end{aligned} \right. \end{equation} \qquad\qquad(10)$
其边值条件等价于
$\begin{aligned} \left| \frac{\partial u}{\partial \nu}\right| <g\qquad &\Longrightarrow \qquad u=0 \\ \frac{\partial u}{\partial \nu}=g \qquad &\Longrightarrow \qquad u\le0 \\ \frac{\partial u}{\partial \nu}=-g\quad \; &\Longrightarrow \qquad u\ge0 \end{aligned}$

3.解的存在性与唯一性

凸是很好的性质. 若区域/函数是凸的，则很多椭圆型变分不等式会展现出良好的性质. 有一个基本的定理为：

定理 3.1:

若是赋范空间的非空凸子集，且是凸的且可微的. 则存在使得

成立，当且仅当存在使得

当为子空间时，不等式退化为等式

证明从略. 定理3.1可拓展为定理3.2，用于处理2.3节中的泛函不可微的情况.

定理 3.2：

若是赋范空间的非空凸子集，且是凸映射，是可微的. 则

当且仅当

证明：

必要性：对任意和，有，故

即

再使，则有式成立.

充分性：由于是凸函数，故

从而对任意，

在更一般的条件下，比如将看作双线性泛函，其满足椭圆性条件，又有Riesz表示定理将视为线性泛函，则有Lax-Mligram引理（见附录）. 容易得出第2节的三个问题的解都具有存在唯一性，且对满足条件的抽象变分问题，解同样存在且唯一.

4. 一族EVIs的解的存在唯一性

本节讨论一类椭圆型变分不等式的解. 首先给定以下定义

strongly monotone：满足，存在使得
Lipschitz连续：满足，存在使得
lower semi-continous()：满足

定理 4.1：^[2]

令是实Hilbert空间，是的非空闭凸集. 设是strongly monotone且Lipschitz连续，是凸的且，则对任意，椭圆性变分不等式

有唯一解，且解关于是Lipschitz连续的.

称形如的变分不等式为第一类变分不等式，而对于形如含有不可微分项的变分不等式为第二类变分不等式，例如2.3节中给出的例子.

在对变分不等式数值解法收敛性的分析中，Minty引理十分重要.

定理4.2：(Minty Lemma)

假设定理4.1中的条件成立，在有限维空间中的Lipschitz连续条件减弱为连续性条件. 则是变分不等式的解当且仅当

证明：

必要性：若式成立，则由的strongly monotone，可得

易得式成立.

充分性：若式成立，对任意，有，故

又根据是凸的，有

带入，并使，可得式成立.

下面的定理给出一般形式的椭圆型方程的能量不等式. 该不等式说明解直到二阶导数的信息可以由和限制.

定理4.3：^[3]

令是的且满足椭圆性条件：

且对，有，满足. 定义

则下面的变分不等式的有解,

且存在依赖的常数，使得

5. 数值方法

在给定变分形式之后，即可在有限维空间中离散求解，即有限元方法的思想. 在此，我们不关注这有限元空间如何构造，而直接对其分析. 经典的引理就是其中一个重要的结论（见附录）.

令是有限元空间，非空、凸且闭，则问题(16)有限元解为

且根据定理3.1可得，在相应的条件下，解是唯一的.

5.1 有限元解的误差估计

下面定理保证有限元解依范数收敛至真实解，

定理 5.1：^[4]

基于定理4.1的假设，且是连续的，按下面要求逼近

，存在使得.
若满足，.

则有.

若令

则有下面估计式，其中是的strongly monotone条件中的参数，

在具体的空间中，的式子可以更精确的表达出来. 以2.3节的非齐次Neumann问题为例，就有
$\begin{aligned} |R(v_h,u)|\le &\left[ \left|\left| \frac{\partial u}{\partial \nu} \right|\right|_{L^2(\Gamma)} + g\sqrt{\mathrm{meas}(\Gamma)} \right] ||v_h-u||_{L^2(\Gamma)}\\ &+||-\Delta u+u-f||_{L^2(\Omega)}||v_h-u||_{L^2(\Omega)}. \end{aligned}$
相关分析表明用其数值积分代替，仍然能保证解收敛. 以梯形公式为例，定义其数值积分为

5.2正规化方法

在处理这类离散问题时，处理其中的不可微分项至关重要. 此时可以使用正规化方法（Regularization technique），通过用一族可微分项去逼近不可微分项. 同样以2.3节为例，

令

于是目标转为构造可微函数族，使其逼近不可微函数. 这样的函数族有很多，如：

或或 .

除正规化方法外，拉格朗日乘子法也可以处理不可微项，此处从略.

6.弹性力学方程组及其数学结构

作为椭圆型偏微分方程，最具有代表性的例子就是线弹性理论中的边值问题. 设一个弹性体所占区域为，该弹性体受力（在中），在的一部分边界上受表面力，而在另一部分边界上固定位移.

首先分析其内部的平衡方程，根据文献[4]的第五章，假定该物体是线性弹性体，即服从Hooke定律，且各向同性. 有以下基本的事实：(1)弹性体的变形可以用位移的一阶偏导数来描述；(2)作用力与反作用力大小相等，方向相反；(3)变形前后弹性体总质量守恒；(4)动量守恒律和动量矩守恒律.

在载荷(此处即外力)的作用下，弹性体只要发生变形，就会在内部形式一个附加的内力场. 弹性体达到平衡时，必有内力场与外力平衡. 利用彼奥拉应力张量描述的微分形式，结合前面指出的基本事实，可得到下面的弹性动力学方程组：

弹性材料根据材料的粘弹性，方程可能是双曲性或抛物性的. 由于能量的耗散，最后会达到一稳定状态，即. 再结合边值条件，线弹性模型的边值问题可用下面方程描述：
$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & -\mu\Delta u-(\lambda+\mu)\mathrm{grad(div}\,u)=f,\quad i=1,2,3\quad \mathrm{in}\;\Omega\\ & u=0,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \;\mathrm{on}\;\Gamma_0 \\ & \sigma_{ij}(u)\nu_j =g_i,\quad i=1,2,3\qquad\mathrm{on}\;\Gamma_1 \end{aligned} \right. \end{equation}. \qquad\qquad(27)$
详细推导过程可以见[3]和[4].

于是，又可以用Green公式建立相应的变分问题，而其形式正好又与2.3节中的形式相似. 注意到，若系统还未平衡，即非零，且有强椭圆性条件，则可化为波动方程利用特征线方法求解.

附录

-引理

设是Hilbert空间，，是一个连续的双线性泛函，且满足椭圆性条件(也称强制性条件)：

又设是一个连续的线性泛函，则抽象变分问题

存在唯一解.

证：由双线性泛函的连续性可知，存在常数使得

对任意，由是连续线性泛函知，存在唯一的，使得

易知，是由到其对偶空间的有界线性映射，且

$\begin{aligned} ||A||_{\mathfrak{L}(\mathbb V,\mathbb V^*)} \triangleq \sup_{u\in \mathbb V,\,||u||=1}||A(u)||_{\mathbb V^*} = \sup_{u\in \mathbb V,\,||u||=1} \sup_{v\in \mathbb V,\,||v||=1}|A(u)v| \le \delta_1. \end{aligned}$

记为Riesz映射. 由定义有

其中为上的内积。于是求解的问题等价于求解以下的问题：

定义映射

其中为待定参数，则求解问题的解等价于求的不动点. 有
$\begin{aligned} &\langle \tau A(v),v \rangle =A(v)v =a(v,v) \ge \delta_0 ||v||^2, \\ &||\tau A(v)|| =||A(v)||_{\mathbb V^*} \le ||A||_{\mathfrak{L}(\mathbb V,\mathbb V^*)} ||v|| \le \delta_1 ||v|| . \\ \end{aligned}$
因此，对任意给定的，有

即为压缩映射. 由此及压缩映射原理知在中存在唯一的不动点，这就证明了解的唯一性.

引理

设是Hilbert空间，是的线性子空间，双线性泛函和线性泛函满足Lax-Mikgram引理的条件. 是对应的抽象变分问题的解，满足方程

则存在与无关的常数，使得

证明：

由

取，由双线性泛函的有界性和椭圆性，可得

令，即可.

参考文献

[1] Kendall Atkinson, and Weimin Han, Theoretical Numerical Analysis[M], Springer, 2009.
[2] 李治平, 偏微分方程数值解讲义[M], 北京大学出版社, 2010.
[3] 王烈衡, 许学军, 有限元方法的数学基础[M], 科学出版社, 2004.
[4] 李大潜, 秦铁虎, 物理学与偏微分方程[M], 高等教育出版社, 2005.

第11章标题：Elliptic Variational Inequalities and Their Numerical Approximations. ↩
证明较长，见参考文献[1]，p431-p432. ↩
证明见 M.Chipot, Variational Inequalities and Flow in Porous Media, Section 3.3. ↩
证明较长，见参考文献[1]，p443-p446. ↩

椭圆型变分问题理论及数值方法