Decision Procedures

学习一些logic里面reasoning的方法。

基础概念

给定一个theory，一个decision procedure是一个sound且complete的判定算法，检查该theory中的公式是否valid，即是否在任意赋值下成真。

可以采用公式取反并判定可满足性的方法来检查是否valid。

算法一般会假定输入的公式是某种normal form。常见的有NNF、DNF、CNF。NNF即取反只在原子公式前出现，布尔连接词只有与或非。DNF即析取范式。CNF即合取范式，谓词逻辑中公式可以线性增长的转换为CNF，采用Tseitin's encoding，即给每个连接词引入新的变量来表示其结果。

一阶逻辑不可判定，但是人们感兴趣的并不是一个公式在任意解释下的validity，通常是在某个特定解释下。所以，研究重点在于不同的一阶theory下无量词的公式的可满足性问题。theory通常直接指定所讨论的变量的定义域，并固定非逻辑符号的解释；另外公式的语法也常常独立给出，不一定要在一阶逻辑的框架下讨论。

通常这些判定问题的复杂性都是很高的。例如，一不小心就是NP完全的。所以，一个算法的效果通常会通过现实存在的benchmark来体现。同时，也意味着一些近似、启发、或者学习的方法会出现在算法中。

谓词逻辑的decision procedure

通常针对CNF设计，要点在于，从错误的赋值中进行学习，以及快速地对搜索空间剪枝。最著名的算法是DPLL，基于暴力回溯进行改进。还有一种方法是从一个猜测的解出发，通过一些启发策略进行调整。

DPLL大致是回溯搜索，每次对一个变量的值进行决策，并尽可能的传播该决策的影响，且在出现冲突时回溯到尽可能搜索树中尽量早的位置。传播过程中的一个规则是unit clause rule，即对于未确定的子句中，只有一个原子尚未赋值。如果在传播过程中发现了冲突，就需要找出这个冲突的一个充分条件，将这个条件取反加入公式中，并回溯到充分条件中除了这一轮的决策外最近的一轮决策。充分条件的寻找则是若干轮迭代，每次从当前的冲突子句中找到最后赋值的的变量，找到推出这个变量的unit clause，将两个子句合并起来。实证表明迭代到子句只包含一个这一轮决策中的原子的非效果最好。最后，在决策时有一些启发策略。例如优先选择在短的子句中高频出现的原子，选择一个原子使得最多的子句被满足，等等。

BDD也是一种高效的公式表达形式，而且这种表示是canonical的。其思想在于压缩二叉决策树：将叶子压缩为2个，将同构的子树合并，最后去掉冗余节点（出边只有1条）。实际的算法是通过不断的合并两个公式的BDD来实现。合并算法在BDD结构上递归进行，固定变量决策顺序，分四种情况讨论：都是叶子，都针对同一个变量进行决策，一个变量在前，一个变量在后。变量的顺序是非常重要的。寻找最优顺序也是NP完全的。也有各种启发策略来选择变量顺序。

等值逻辑和未解释函数

等值逻辑在谓词逻辑的基础上加入等式作为原子，并且可以有一些常数。常数可以通过替换为变量并添加变量不等的约束来消除。未解释函数则是对函数的抽象。可以有未解释的谓词和函词。未解释函数的作用在于，如果某个逻辑中的公式对应的未解释函数的版本是valid的，则原公式也是valid的。在未解释函数中，函数唯一要满足的性质是一致性：相同的输入必有相同的输出。未解释函数可以通过等值逻辑消除。常见的算法有Ackermann消除和Bryant消除。消除思路是将每处函数替换为一个变量，并添加一致性约束。

通常未解释函数这种级别的抽象是不够的。对一个具体的函数，除了一致性之外还可以添加这个函数其他的性质作为约束。这样就是部分解释函数。不同的部分解释就是不同的抽象。自动抽象精化是一个在验证中很有趣的想法。从一个简单的抽象出发（例如未解释函数），如果能确定validity，则返回；否则对抽象进行精化，加上一些具体函数的部分性质，或者直接将未解释函数替换为具体函数，又或者可以从反例中进行学习。

未解释函数常用在证明系统的等价性中。例如检查两个版本的电子芯片是否等价。又例如在编译技术中检查编译后代码与编译前的等价性。

等值逻辑和未解释函数的decision procedure

首先对于一个由等式和未解释函数构成的合取式，有一个多项式时间的decision procedure。方法就是根据等式计算等价类，并根据等价类计算未解释函数调用的等价类，迭代到不动点，最后检验不等式是否合法。

然后，对于任意的公式，一般有两种策略。一种是通过SAT solver搜索可能的赋值（谓词用新的布尔变量代替），然后利用上一段描述的算法进行检查。另一种则是将公式完全的转换为谓词逻辑公式。公式基于没有常数和未解释函数的NNF形式。下面描述这个算法。

任何时候，对公式先做一些简化是一个不错的选择。根据公式中的等与不等的关系构造一个图，对于不在冲突简单圈（一个简单圈，有且仅有一个不等）的边，直接复制为真，然后根据真值演算化简，迭代到不动点。之后基于图进行公式简化成为谓词逻辑公式。这个图的表只用表达等的关系。将一个公式转换成两个谓词逻辑公式的合取。一个部分是一个谓词逻辑框架，即将等式用新的布尔变量代替。另一个部分是一些蕴含式的合取，每个蕴含式表示对于图中的一个圈，若除了一个边其他都是真，那么它本身也是真。有几个简化：只用对于没有弦的简单圈进行转换；可以将图转换成弦图（无弦简单圈只有三元圈；转换过程是多项式时间）。这样就得到了一个等价的谓词逻辑公式。