贪心算法

一、贪心算法的概念

贪心策略也是一种分治策略，即将大问题化为小问题，在以最优方式解决小问题后获得大问题的解。与一般分治不同的是，贪心策略每步解决的子问题数量为1个。

二、贪心算法的基本要素

贪心选择属性

贪心选择属性是指一个(全局)最优的解答是经由局部最优(贪心)的选择而获得的。

如果经由一系列贪心选择可以获得一个问题的最优解，则该问题具有所谓的贪心选择属性。

贪心算法的基本要素

贪心策略要想获得最优解，必须满足下面两个条件：

1.每个大问题的最优解里面包括下一级小问题的最优解（最优子结构性质）；

2.每个小问题的解可由贪心选择获得（贪心选择性质）。

如果一个问题不具备上述条件，并不说明不能采用贪心策略，只不过贪心策略将不能保证获得最优解。

三、应用范例

0/1背包问题

k-优化算法

首先将最多k件物品放入背包，假如这k件物品重量大于c，则放弃它。否则，剩余的容量用来考虑将剩余物品按递减的顺序装入。通过考虑由启发法产生的解法中最多为k件物品的所有可能的子集来得到最优解。

例：考虑n=4, w=[2,4,6,7], p=[6,10,12,13], c=11。

当k=0时，背包直接按物品价值密度非递减顺序装入，首先将物品1放入背包，然后是物品2，背包剩下的容量为5个单元，剩下的物品没有一个合适的，因此解为x=[1,1,0,0]，此解获得的价值为16。

现在考虑k=1时的贪婪启发法。最初的子集为{1},{2},{3},{4}。子集{1},{2}产生与k=0时相同的结果，考虑子集{3}，置为1。此时还剩5个单位的容量，按价值密度非递增顺序来考虑如何利用这5个单位的容量。首先考虑物品1，它适合，因此取为1，这时仅剩下3个单位容量了，且剩余物品没有能够加入背包中的物品。通过子集{3}开始求解得结果为x=[1,0,1,0]，获得的价值为18。若从子集{4}开始，产生的解为x = [1,0,0,1]，获得的价值为19。考虑k为0和1时获得的最优解为[1,0,0,1]，这个解是通过k=1的贪婪启发式算法得到的。

若k=2，除了考虑k<2的子集，还必需考虑子集{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4}和{3,4}。首先从最后一个子集开始，它是不可行的，故将其抛弃，剩下的子集经求解分别得到如下结果：[1,1,0,0],[1,0,1,0],[1,0,0,1],[0,1,1,0]和[0,1,0,1]，这些结果中最后一个价值为23，它的值比k=0和k=1时获得的解要高，这个答案即为启发式方法产生的结果。

算法的时间复杂度随k 的增大而增加：

需要测试的子集数目为，

每个子集做贪心法需要时间，

因此当k>0时总的时间开销为。

最短路径问题

Dijkstra算法→Bellman-Ford算法

5.哈夫曼编码问题

6.最小代价生成树：Prim算法→Kruskal算法

7.拓扑排序问题

8.偶图覆盖问题